Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen zusammen. Wir hatten letztes Mal uns angefangen mit einer der

aller einfachsten partiellen Differenzalgleichungen zu beschäftigen, der Poissongleichung. Wir haben

es noch dadurch einfach gemacht, dass wir sie nur in Zweiraumdimension auf einem Rechteck

betrachten. Das ist eine sehr eingeschränkte Situation, die aber, wie wir gesehen haben,

sozusagen zugeschnitten ist auf das numerische Diskretisierungsverfahren, was wir diskutiert haben,

die Methode definierten Differenzen. Wir haben einfach jeweils die zweiten Ableitungen in X-

richtungen, die zweite Ableitung in Y- Richtung, die ja in dieser Differenzalgleichung vorkommen,

durch zweite Differenzenquotienten ersetzt und haben dann dadurch auch auf den Gitterpunkten,

die equidistant sich in beide Richtungen über das Gebiet verteilen. Haben wir irgendwo ein

Bild davon? Vielleicht nicht. Doch hier haben wir dann einen inneren Gitterpunkt da, wo kontinuierlich

die Differenzalgleichung gelten soll. Da haben wir die Differenzalgleichung durch eine

Differenzengleichung ersetzt, die dadurch entstanden ist, indem wir eben die zweiten

Ableitungen durch die zweiten Differenzenquotienten substituiert haben. Es entstand damit,

in jedem dieser Punkte entsteht damit eine lineare Gleichung, die Werte der Gitterfunktion,

also wenn man so will eines Vektors, der eben an diesen Orten hier Komponenten hat, beinhaltet.

Und hinzu kommen die Randbedingungen, die in unserem Fall ganz einfach sind, weil es direkt

Randbedingungen sind, wo einfach der Funktionswert vorgegeben ist. Das fordern wir natürlich auch

diskret. Kurz und gut, wir kommen auf ein lineares Gleichungssystem, was auch schon in der Einführung

in die numerische Mathematik als Beispielsystem verwendet worden ist, weil es eben diese spezifische

Struktur hat, eines dünn besetzten Gleichungssystems. Es kann sehr, sehr groß sein, wenn wir eben

viele Punkte in x- und oder y-Richtung nehmen, um eben die Güte der Approximation zu gewährleisten.

Nichtsdestotrotz, egal wie groß die Matrix ist, hat sie pro Zeile immer nur fünf Einträge.

Hier sehen wir es ganz konkret, wie sie aussieht, wenn wir eine Zeilenweiseanordnung nehmen.

Wir haben auf der Diagonale eine, bis auf den Faktor 1 durch h², eine 4, in unmittelbarer Nachbarschaft

eine minus 1. Das heißt, wir haben hier tridiagonalen Matrizen, die hier die Diagonalblöcke wiederum bilden

und dann in der Entfernung der Punkte pro Zeile haben wir nochmal dann von der y-Ableitung jeweils eine minus 1 hier zu stehen.

Wir haben auch schon diskutiert, wie man das mit den Verfahren, wie man sie in der Einführung in die numerische

Mathematik kennenlernt, angehen kann. Natürlich nicht, indem man jetzt einen Löser für vollbesitzte

Matrizen loslässt, da würde man sehr schnell durch die Elimination, füllt man ja die Matrix auf.

Und insbesondere, wenn man dann noch im Gegensatz zu der Nummerierung hier keine Bandstruktur hat,

dann füllt man sie ganz gewaltig auf. Das heißt also, man produziert sich da ein Aufwand,

der dann irgendwann nicht mehr tragbar ist. Aber da gibt es Verfahren, entweder an die Struktur angepasste

oder direkte Verfahren oder iterative Verfahren damit umzugehen, sodass das eigentlich, ja, okay ist, können wir.

Jetzt müssen wir wissen, wie gut die Approximation ist und von der Begrifflichkeiten überträgt sich alles jetzt

recht analog zu dem, was wir schon aus den Anfangswertaufgaben kennen. Wir wollen auf einem Gitter oder wir wollen,

weil wir nur woanders gar nicht können, auf dem Gitter vergleichen. Das heißt, wir brauchen entsprechende

diskrete auf das Gitter bezogene Normen, zum Beispiel diskrete Maximumnormen, ganz analog zum Fall der

Anfangswertaufgaben. Die wollen wir jetzt mal zugrunde legen. Eventuell könnte man sich auch überlegen,

zu schauen, ob man sozusagen bessere Aussagen bekommt, wenn man weniger möchte, nämlich wenn man

statt der diskreten Maximumsnorm eine diskrete L2-Norm nimmt. Und dann wiederholen sich die Begriffe,

wie wir sie kennen. Es wiederholt sich der Begriff der Konvergenz, der Konvergenzordnung und auch der

Konsistenz, wobei Konsistenz hier eben bedeutet, dass das Residuum, das entsteht, wenn ich die exakte

Lösung, genauer gesagt die Gitterfunktion, die entsteht, wenn ich die exakte Lösung auf dem Gitter

auswerte, in das Verfahren einsetze und mir das Residuum in der betreffenden Norm, in der ich eben

Konvergenz untersuchen möchte. Das darf ich nicht sagen. In einer spezifizierten Norm denken wir

weiterhin an die diskrete Maximumsnorm gegen Null geht, entsprechende Ordnung, dann Konsistenzordnung.

Jetzt wollen wir aber nichts über diesen, das ist etwas, was wir sozusagen, wenn wir die Lösung

hätten, direkt ausrechnen könnten, beziehungsweise theoretisch in den Griff kriegen, indem wir eben

diese Approximationsgüte der Differenzen-Gleichungen einsetzen, Differenzen-Quotienten