Im letzten Video haben wir charakterisiert, wie nilpotente Endomorphismen aussehen und

welche Eigenschaften sie haben. Und diese Eigenschaften werden wir uns in diesem Video

zunutze machen, um die sogenannte Hauptraumzerlegung des Vektorraums V herzuleiten, der eine

Allgemeinerung darstellt für den Fall von diagonalisierbaren Endomorphismen, bei dem

wir schon gesehen haben, dass sich V als direkte Summe der Eigenräume schreiben lässt.

Und in diesem Video werden wir sehen, wie wir diese Aussage verallgemeinern können für

beliebige trigonalisierbare Endomorphismen.

Die Hauptidee dieser Hauptraumzerlegung ist die folgende Beobachtung.

Wir starten gleich mit einem Lämmer.

Zuerst einmal das Thema des heutigen Videos wird die Hauptraumzerlegung sein.

Bevor wir definieren, was überhaupt ein Hauptraum ist, möchte ich folgende Beobachtung mit

Ihnen teilen.

Das ist eigentlich die Kernidee hinter dem Gesamten.

Und zwar sagt uns das folgende Lämmer, dass der Kern des Endomorphismus F minus Lambda

die Identität, das heißt, wenn ich einen der Eigenwerte abziehe des Endomorphismus,

dass dieser Kern mit jeder Potenz größer wird.

Das heißt, je öfter wir diesen modifizierten Endomorphismus auf sich selbst anwenden, desto

größer wird der Kern bis zu einer gewissen Schranke.

Und diese Schranke induziert uns später den Hauptraum, der uns ermöglichen wird, V in

F invariante Unterräume aufzuteilen.

Das heißt, wir beginnen mit folgendem Lämmer, das im Prinzip diese Beobachtung nochmal

verdeutlicht.

Sei F ein Endomorphismus von V nach V.

Ja, V war ein entlichtungsanaler K-Vektoraum und wichtig für uns ist an der Stelle mit

Eigenwert Lambda aus dem Körper K.

Dann ist die Aussage dieses Lämmers, dann gilt für sämtliche Potenzen K aus K, K aus

N aus den natürlichen Zahlen folgende Beobachtung, nämlich, dass der Kern des Endomorphismus

F minus Lambda die Identität in V.

Das war im Prinzip das, wie wir den Eigenraum definiert haben.

Das ist immer eine Teilmenge des Raumes, der aufgespannt wird, indem man den Kern betrachtet,

der Potenz von F minus Lambda Identität V hoch diesem K, das beliebig gewählt werden

kann.

Das sieht man vielleicht jetzt nicht sofort ein, aber der Beweis ist relativ einfach.

Das heißt, sobald ich diesen Endomorphismus F minus Lambda Identität potenziere, vergrößere

ich den Kern mit jeder Potenz und jedes Element, das schon im Eigenraum war, wird auch in

diesem vergrößerten Raum liegen und das wird nachher motivieren, was ein Hauptraum sein

wird.

Wir schauen uns den Beweis an, der ist wirklich erstaunlich leicht.

Wir definieren uns eine Hilfsvariable G, G definiert als eben genau diese Abbildung

F minus Lambda der Identität von V.

Das, was wir zeigen müssen, ist, dass wenn wir ein Element aus dem Kern von G nehmen,

dann muss es auch schon im Kern von G hoch K liegen.

Das heißt, dann müssen wir zeigen, dass für beliebigen Potenz folgendes gilt.

Naja, wir müssen eben zeigen, dass falls V ein Vektor aus dem Kern von G ist, also eigentlich

im Eigenraum von F, bezüglich des Eigenwertes Lambda, dann muss daraus folgen, dass V auch

im Kern von G hoch K ist, also der Kartenpotenz und das muss für alle V aus V gelten.

Für alle V aus V.

Gut, das heißt, wenn wir das zeigen, können Sie mich schon fertig.

Wir betrachten jetzt erstmal ein V aus dem Kern von G.

Das bedeutet offensichtlich, dass G angewendet auf V null ergibt, sonst wäre es ja nicht