Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen, willkommen zur 16. Vorlesung. Wir hatten uns das letzte Mal mit dem

Tensorprodukt zwischen Vektorräumen und insbesondere Hilberträumen befasst,

wobei die Vererbung des inneren Produktes auf dem Vektorraum, auf dem Übungsblatt erscheint,

dass sie lösen dürfen. Heute und davor haben wir uns beschäftigt mit dem Drehimpuls und heute

bauen wir beides zusammen. Wir werden nämlich heute sprechen über die Addition von Drehimpuls-Operatoren.

Die Idee ist, dass Sie ein System haben, das einen Drehimpuls hat, zum Beispiel ein Teilchen,

das auf einer, stellen Sie sich vor, auf einem Orbit umläuft. Sie wissen, es läuft nicht auf

einem Orbit um in der Quantenmechanik, aber der Drehimpuls eines quantenmechanischen Teilchens,

aber wir bereiten damit schon technisch vollkommen den Spin vor, weil wir dem Teilchen selbst noch

mal einen internen Drehimpuls geben, zum Beispiel einen Spin, einen halben oder einen anderen Spin.

Und dann interessiert uns aber, was ist denn der Gesamtdrehimpuls dieses Systems? Wenn Sie

in der klassischen Mechanik wären, würden Sie einfach die beiden Drehimpulse zusammen addieren

und hätten den Gesamtdrehimpuls. In der Quantenmechanik können Sie höchstens die

Observablen aufaddieren, das können wir auch tun. Wir wissen nur, wir müssen dann schauen, was das

wieder für ein Gebilde ist und wir untersuchen diesen Drehimpuls. Und das ist natürlich auch

bei jeglichen zusammengesetzten System wichtig. Sie haben zum Beispiel ein Teilchen mit Spin

ein halb, ein anderes Teilchen mit Spin eins, die bilden ein Gesamtsystem oder ein Spin halb und

noch ein Spin ein halb. Was ist denn dann der Drehimpuls des Gesamtsystems? Das ist eine sehr

wichtige Frage und mit der beschäftigen wir uns heute. Und das ist eigentlich auch wieder eine rein

mathematische Frage. Also wir hatten bisher betrachtet gehabt eine Drehimpulsalgebra. Das

war eine Algebra von Observablen und die hatten wir immer J oder L oder sowas genannt. Wir nennen

heute die Observablen mal A. Wir haben drei Observablen A1, A2, A3, deren paarweiser

Kommutator I epsilon I j k ak ergibt. Und wir wissen, wenn diese As, all diese Ais auf einem

bestimmten Definitionsbereich, D A i, definiert sind, auf dem sie dann auch wieder landen und sind

selbst adjungiert bzw. wesentlich selbst adjungiert, dann nanten wir eine solche Menge von drei

observablen I gleich 1, 2, 3, die diese Kommutationsrelation erfüllen, nanten wir eine

Drehimpulsalgebra. Und wir hatten zum Beispiel den Bahndrehimpuls als Beispiel, aber wir hatten uns

auch überlegt, wir wollen das etwas abstrakter verstanden wissen. Jegliche Sammlung von drei

solchen Operatoren auf einem geeigneten Hilbertraum oder Definitionsbereich möge eine Drehimpulsalgebra

heißen. Aber jetzt stellen wir uns mal vor, ein System hat so eine Drehimpulsalgebra an

Observablen und es gibt jetzt noch eine Drehimpulsalgebra, die nennen wir mal B i B j gleich I epsilon I j k B k,

soweit soll das das gleiche sein. Und das B, das kann auch wirken auf einem Definitionsbereich,

aber es kann durchaus sein, dass das ein Teil eines ganz anderen Hilbertraumes ist als das hier.

Also zum Beispiel könnten wir haben, dass diese DAIs, dass die im L2 von R3 liegen, grob gesprochen,

also zum Beispiel beim Bahndrehimpuls wäre das der Fall, wenn die A's da die Komponenten des

Bahndrehimpulses wären, dass aber dieses B in einem ganz anderen Hilbertraum liegt, zum Beispiel einem

endlichdimensionalen C2, den wir auch zum Hilbertraum machen können durch ein geeignetes inneres Produkt.

Also es sind Drehimpulsalgebren auf zwei ganz verschiedenen Hilberträumen. Das hat gar nichts

miteinander zu tun. Und jetzt haben wir gesagt, ich würde gerne das System, das sowieso schon diesen

Drehimpuls hat, gerne noch diesen da als internen Drehimpuls dazugeben. Was soll denn das bedeuten?

Das bedeutet, wir müssen ein zusammengesetztes System betrachten mit einem großen Hilbertraum H,

der dann gegeben sein soll als das Tensorprodukt von zwei Hilberträumen, nämlich dem einen Hilbertraum

H, A, also das wäre vielleicht der hier, ein Beispiel, also Beispiel ist hier zu Ende, dann wird es wieder

allgemein, und ein Hilbertraum H, B, sodass wir sagen, das zusammengesetzte System hat auf jeden Fall

eine Wellenfunktion, die lebt in H, A, Tensorprodukt H, B. Warum? Weil wir auf diese Art und Weise

Systeme zusammensetzen wollen. Aha, jetzt wirken aber diese A's und die B's, die wirken immer nur

auf einem Teilraum von dem H, A oder von dem H, B. Wir würden jetzt ganz gerne einen Drehimpuls,

wir würden jetzt ganz gerne verstehen, wie wirkt denn dieser Operator A auf diesem Tensorprodukt.

Und dazu betrachten wir die Erweiterung dieses A's, das eigentlich nur auf dem H, A wirkt,