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kommen wir in diesem Video schlussendlich zur jordanischen Normalform. Wir haben sehr viel

Theorie einführen müssen, um zu diesem Punkt zu kommen. Das ist sozusagen der Höhepunkt und

Abschluss der Eigenwerttheorie, die wir in dieser Vorlesung besprochen haben. Und wir haben im letzten

Video die Hauptraumzerlegung kennengelernt, die es uns erlaubt hat, von einer Tribunalgestalt,

eines Endomorphismus zu einer etwas schöneren Gestalt zu kommen. Das heißt, wir waren anfangs in

der Situation, dass wir hatten eine Matrix, darstellende Matrix bezüglich einer Basis B

eines Endomorphismus F. Die konnten wir durch die Eigenvektoren in eine obere rechte Dreiecksgestalt

von der Form, dass wir die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen hatten und in der oberen

rechten Form der Matrix beliebige Einträge. Damit waren wir nicht ganz zufrieden. Zum einen aus

mehrischen Gründen, da wir dann in einigen numerischen Algorithmen unnötige Berechnungen

durchführen müssen und zum anderen ist diese Form ungeeignet, um explizite Lösungen für

gewöhnliche Differentialgleichung herzuführen. Dann sind wir im letzten Video zur Hauptraumzerlegung

gekommen. Die hat uns im Prinzip erlaubt eine Basis zu finden, sodass wir Block-Diagonalmatrizen

erhalten. Das heißt, wir haben nun eine andere Basis, ich nenne sie mal B-Schlange, gefunden,

sodass die darstellende Matrix des Enomorphismus F nun in einer Block-Gestalt war. Und wie sah

die aus? Die waren nun von der Form lambda 1 mal E1 plus N1, das war ein Block, und das

ging dann bis zu einem Block lambda k E k plus N k. Das heißt, wir hatten dort Diagonalen

und rechteobere Dreiecksmatrizen, die jedoch nun wesentlich kleiner waren, und der Rest

der Matrix war nun 0. Und die Matrizen N1 bis N k waren gerade die nilpotenten Anteile.

Und im heutigen Video soll es darum gehen, wie wir auch diese letzten nervigen Reste der

nilpotenten Anteile loswerden können, so gut es geht, sodass wir dann endlich zur Jordansch

Normalform kommen, die sozusagen das ultimative Ziel ist, denn eine schönere Normalform können

wir einfach nicht finden. Gut, jetzt ist es so, wie ich gerade sagte, wir haben diese

nilpotenten Anteile, diese N1 bis N k, und die Frage, der wir uns heute widmen werden,

ist, wie kann ich denn eine Basis finden, sodass diese nilpotenten Anteile möglichst

gering werden, im Sinne von Einträgen in der Matrix. Und wir haben auch schon in einem

der vorigen Videos gesehen, dort gab es die sogenannte Jordan Matrix, ich werde sie nochmal

kurz anschreiben. Wir hatten betrachtet eine Jordan Matrix J k von folgender Gestalt, die

hatte k mal k Einträge, Nullen auf der Hauptdiagonalen und dann Einsen auf der ersten Nebendiagonalen,

sodass wir hier eine k Kreuz, k Matrix erhalten haben. Nun ja, und die Jordansch Normalform,

die nutzt genau diese Jordan-Matrizen, also der Name ist nicht zufällig, und wir werden

eine Normalisierung der nilpotenten Anteile herleiten, die es uns erlaubt, eine nilpotente

Matrix in diese Matrix zu überführen, die dann wirklich sehr wenige Einträge hat, die

nicht Null sind. Das ist das, was wir hier erreichen wollen. Gut, soviel zu Motivation.

Wir steigen direkt ein mit dem Satz, der uns sagt, wie so eine Normalisierung von nilpotenten

Endomorphismen aussehen kann. Steigen wir direkt ein, ein Satz, wir nennen ihn Normalisierung,

Nilpotenter Endomorphismen. Gut, dieser Satz ist äußerst mächtig und beinhaltet sehr

viele Informationen, die wir nach und nach verstehen müssen, deswegen werden wir das

Ganze ein bisschen langsamer angehen. Wir sagen erstmal, wir haben ein Endomorphismus,

der nilpotent ist, wir nennen ihn einfach als halber G, denn später in der jordanischen

Malform werden wir solche Endomorphismen G auch betrachten, sprich sei G ein Endomorphismus

von V nach V, der nilpotent ist, das ist besonders wichtig, vielleicht hebe ich das nochmal farblicher

vor. Nilpotent mit einem Nilpotenzindex, den nennen wir hier D, Nilpotenzindex D aus den

natürlichen Zahlen, das war gerade der kleinste Index, für den die Potenz die Nullabbildung

wird, also G hoch D ist gerade gleich der Nullabbildung. Dann betrachten wir folgende

Inklusionskette, nämlich die der Potenzen von G, das kennen wir schon aus dem Lemma

vom Fitting. Wir können jetzt mal sagen, die Null ist natürlich als kleinster Teilvektorraum

eine Teilmenge des Kerns von G, der ist natürlich, wie wir im Lemma vom Fitting gesehen haben,

eine Teilmenge vom Kern von D² und so weiter, bis wir hinkommen zum Nilpotenzindex D, sprich