und gesundes neues Jahr in alter Frische, hoffe ich. Bevor es losgeht, muss ich mich

noch für einen Fehler auf dem Aufgabenblatt entschuldigen, den ich erst heute bemerkt

habe. Da ist nämlich eine nicht lösbare Aufgabe dabei. Bei Aufgabe 3a. Wer hat denn

drei universellen Pfeilen? Die erste geht so ganz so wie sie da steht nicht,

beziehungsweise es hängt davon ab, was man da für Morphismen in der Kategorie der Postsets mit

Bottom betrachtet. Jetzt könnte man aber interpolieren, dass man das meint, was wir im letzten

Jahr in der letzten Vorlesung gemacht haben, nämlich da hatten wir ja eine universelle Pfeile

für den Inklusionsfunktur von CPOs nach Postsets mit Bottom gemacht. Also da war das die Kategorie,

die als Objekte Postsets mit einem kleinsten Element hat und die Morphismen waren monotone

Abbildungspunkt. Also die müssen das kleinste Element nicht erhalten. Und dann hat das nicht

alle universellen Pfeile, zum Beispiel weil es kein Initialobjekt hat. Es ist nämlich so,

dass ein universeller Pfeil, wiederhole auch gleich nochmal, wenn es mit dem Stoff weitergeht,

was das genau ist, aber wer sich vielleicht noch erinnert, der wird das sofort einsehen. Wenn

ich hier leere Menge nehme und da ein universellen Pfeil habe, jetzt gucke ich hier also auf diesen

Vergissfunktur nach Mengen. Das heißt, das geht hier in U von irgendeinem Postset. So ein Pfeil,

der universell ist, der sagt nichts anderes als, dass dieses hier ein Initialobjekt ist in der

linken Kategorie. So und da kann es keins geben, weil das kleinste Mögliche, was man sich vorstellen

kann, ist ein ein elementiger Postset, wo dann das kleinste Element drin ist und wenn die Abbildungen

aber kleinste Elemente nicht erhalten, dann habe ich also aus diesem Postset in irgendeinem

der mindestens zwei Elemente, hat natürlich zwei Möglichkeiten Morphismus zu machen. Also das geht

nicht, da universelle Pfeile zu finden. Es geht natürlich schon, wenn man verlangt, dass die

Morphismen hier strikt sind, also das kleinste Element erhalten. Dann ist das auch das

Initialelement und dann hat man also hier schon mal einen universellen Pfeil und die restlichen,

das sehen wir dann am Mittwoch. Also das wäre sozusagen dann Postset Strich, ja,

Postset Strich Bottom, also Objekte sind da Postsets mit kleinstem Element und Morphismen

monotone strikte Abbildungen und damit geht's. Aber wir hatten also bei den CPOs hatten wir

halt die Variante mit nicht strikten Abbildungen auch so bezeichnet. Insofern ist das mindestens

etwas missverständlich. Gut, ansonsten waren wir ja bei dem Abschnitt über universelle Pfeile

gewesen und der geht sozusagen nahtlos über in adjungierte Funktoren. Das ist also jetzt das

neue Kapitel oder ja eigentlich ist das eine Fortsetzung, weil universelle Pfeile sind halt

eine Möglichkeit adjungierte zu definieren und damit fangen wir dann auch sofort an und dann

wiederhole ich auch noch mal was ein universeller Pfeil ist. Also da gucken wir jetzt so einen

Funktor an und der heißt ein rechts adjungierter, genau dann wenn er universelle Pfeile für alle

Objekte in B hat. Also genau das was man in der Hausaufgabe da auch zeigen soll für diese Funktoren,

die da gegeben sind, also das sind dann eben alles rechts adjungierte am Schluss. Also U hat

universellen Pfeil für jedes Objekt B aus der Kategorie B. Gut und das heißt noch mal,

also das jetzt zur Erinnerung, das heißt ich habe halt so ein Objekt B und dann so ein Morphismus

Eta B, der in U von irgendeinem A geht und für alle, oder wir hatten glaube ich A0 geschrieben

und dann ist so für alle anderen Dinger F, die auch so ähnlich aussehen, also die gehen

von B in U von irgendeinem A, da gibt es genau ein H von A0 nach A, das ist dann aber in

A, so dass dann U von H mal Eta B gleich F ergibt. Das war also das Eta B universeller

Pfeil. Damit hatten wir uns ja jetzt so die letzten zwei Vorlesungen oder so mit rumgeschlagen

und also Funktoren, die das für jedes Objekt haben, die heißen rechts adjungierte und

warum da das Wort rechts drin vorkommt, das werden wir später im Laufe des Tages heute

noch sehen. Vielleicht erstmal dazu ein paar Beobachtungen, die man hier machen kann. Also

was bringt einem das noch alles? Also wenn ich jetzt universelle Pfeile auswähle, also

eine Auswahl von universellen Pfeilen für jedes B, nehme ich mir einen her, also zunächst

mal weiß ich die existieren, so und jetzt nenne ich das nicht mehr A0, sondern ich nenne

das F von B, dieses Objekt A0, das ist erstmal nur Name, das heißt also B ist hier in B,

ich schreibe jetzt mal nicht ob davor und FB das ist erstmal nur ein Objekt in A, ja