Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen Nürnberg präsentiert.

Wir sprechen ja gerade über lineare Differentialgleichungen Interordnung und da

haben wir schon über die allgemeine Lösung der homogen Differentialgleichungen gesprochen,

also mit rechter Seite Null. Um die allgemeine Lösung zu beschreiben, braucht man ja ein

Fundamentalsystem. Bei einer linearen Differentialgleichungen Interordnung besteht

steht das Fundamentalsystem aus N Lösungen und die müssen linear unabhängig sein.

Die bilden dann eine Basis des Lösungsraums.

Jetzt kommen wir zu dem Fall der inhomogenen Differentialgleichungen.

Und da braucht man ja eine particuläre Lösung.

Und dann kann man genauso, wie Sie es im Fall N gleich 1 kennen,

auch die allgemeine Lösung für die inhomogene Differentialgleichung darstellen,

indem man zu dieser speziellen, particulären Lösung noch irgendwelche Lösungen der homogenen Differentialgleichung addiert.

Also das ist die allgemeine Struktur bei linearen Problemen, wie Sie es auch aus der linearen Algebra kennen.

Wenn man ein Gleichungssystem A x gleich b hat und dann eine spezielle Lösung x Stern,

dann kann man ja auch irgendein Element aus dem Kern der Matrix dazu addieren und das liefert dann wieder eine Lösung.

Und diese Struktur hat man hier auch bei den inhomogenen Differentialgleichungen.

Das formulieren wir jetzt als Satz.

Die Struktur der allgemeinen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist ähnlich wie im Fall N gleich 1.

Das formulieren wir als Satz.

Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung, die schreiben wir jetzt kurz in der Form L y ist gleich b von x.

Das b von x ist die rechte Seite und das L y enthält diese Ableitungen.

Das haben wir ja als Differentialoperator definiert.

Das war a n von x mal n der Ableitung von y plus a n minus 1 von x mal n minus 1 der Ableitung und so weiter.

Das steckt alles in diesem L drin.

Das hatten wir so definiert.

Und jetzt zu der Lösung dieser Gleichung. Die Lösung hat die Form y von x ist gleich y h von x plus y Stern von x.

Und das y h von x ist dabei eine Lösung des homogenen Problems.

Und das y Stern von x ist eine particuläre Lösung des inhomogenen Problems, der inhomogenen Differentialgleichung.

Wobei y h die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist und das y Stern eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung,

wo die rechte Seite durch diese Funktion b von x gegeben ist.

Also die homogene Differentialgleichung ist ja L y gleich 0, damit es nochmal hier steht.

Und y Stern von x eine spezielle, particuläre Lösung

der inhomogenen Differentialgleichung L y gleich b von x ist.

Das hatten wir ja auch schon bei den skalaren linearen Differentialgleichungen, also y Strich ist gleich a von x mal y plus b von x.

Da haben wir ja auch immer das zp von x ausgerechnet und dazu eben die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung addiert.

Und Sie erinnern sich ja an die Variation der Konstanten bei diesen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Und das kann man hier auch genauso verwenden.

Hier kann man also mit der Variation der Konstanten aus einem gegebenen Fundamentalsystem so eine particuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ausrechnen.

Das sind y 1 bis y n, n lineare, linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialgleichung.

Mit anderen Worten sind y 1 bis y n ein Fundamentalsystem.

So hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung L y gleich b von x die Form.

Jetzt kann man das mit den Koeffizienten schreiben, die da in der Linearkombination der Funktion aus dem Fundamentalsystem vorkommen.

Also c 1 mal y 1 von x plus und so weiter plus c n multipliziert mit y n von x plus y Stern von x.

Hier hat man also n reelle Koeffizienten c 1 bis c n in der allgemeinen Lösung und damit kann man diese Lösung auch an Anfangsbedingungen anpassen.

Die Form der Anfangsbedingungen ist die folgende.

Dann kommt y Strich an der Stelle x 0, das ist gleich alpha 1 und so geht es weiter bis zur n minus ersten Ableitung von y an der Stelle x 0, das ist dann alpha n minus 1.

Dadurch hat man also n Werte alpha 0 bis alpha n minus 1 vorgegeben und die determinieren dann diese Koeffizienten c 1 bis c n.

Man erhält ein lineares Gleichungssystem für diese Koeffizienten c 1 bis c n, indem man diese allgemeine Lösung in die Anfangsbedingungen einsetzt.

Und wie sieht das lineare Gleichungssystem aus?

Die Matrix ist wieder eine uns bekannte Matrix, das ist nämlich genau die Wronzki Matrix, die wir schon gesehen haben.