Als Abschluss der Eigenwerttheorie, die wir in den letzten Wochen in dieser Vorlesung behandelt

haben, wollen wir noch ein Beispiel rechnen. Das heißt, wir werden uns jetzt eine 5 Kreuz 5

Matrix anschauen und versuchen diese in die jordanische Normalform zu überführen. Das

heißt, das Thema für heute wird sein Beispiel zur jordanischen Normalform. Da geht es vor allem

darum, dass Sie nochmal den Algorithmus, den wir im letzten Video eingeführt haben, in Aktion sehen.

Und dann sind wir auch mit der Eigenwerttheorie fertig und widmen uns neuen spannenden Themen.

Gut, ich sagte schon, wir werden eine 5 Kreuz 5 Matrix vornehmen. Das hat vor allem den Grund,

dass man bei größeren Matrizen den Einfluss von algebraischer und geometrischer Vielfachheit besser

beobachten kann. Wenn die Matrizen zu klein sind, ist es oft schwierig nachzuvollziehen,

wie sich aus beispielsweise der geometrischen Vielfachheit die Anzahl der Jordan-Kästen ergibt

und wie man all diese Größen vernünftig ablesen kann. Darum nehmen wir diesmal ein etwas größeres

Beispiel und ich werde in dieser Vorlesung einige Zwischenschritte überspringen, die Sie jedoch im

Skript dann detailliert nachvollziehen können. Das heißt, wir beginnen erst mal damit, eine 5

Kreuz 5 Matrix zu definieren. Bei A eine reellwertige 5 Kreuz 5 Matrix von folgender Gestalt.

Wir haben in der ersten Zeile 5, 0, 1, 0, 0 gefolgt von 0, 1,5, 0, minus 1,5, 0, minus 1,

0, 3, 2, 0, dann nochmal die 0, 1,5, 0, 3, 0, 0. Sie sehen schon, sehr viele Einträge sind 0,

was natürlich praktisch sein wird bei der Berechnung der Determinante. Und in der letzten

Zeile haben wir fast nur 0 und eine 4. Ja, also das geübte Auge sieht schon, es gibt eine Zeile und

eine Spalte, die fast nur 0 enthält. Die würde sich natürlich dann gleich anbieten für Laplacian

Entwicklungssatz der Determinante. Das heißt, wenn wir gleich im charakteristischen Polynomen

die Eigenwerte bestimmen, würde es Sinn machen, hier den Eintrag unten rechts zu nehmen und von

dort aus unsere Laplacian Entwicklungssatz einzusetzen. Gut, wir schauen uns diese

Matrix an. Das Ziel wird es sein, die Matrix A in eine Jordan-Normalform zu führen. Das heißt,

Ziel des Videos ist es heute, finde eine Transformationsmatrix S, 5 Kreuz 5, sodass folgender

Zusammenhang gilt. Wir hätten gerne das S angewendet auf diese Matrix A oben, mal S,

denn wäre es gerade gleich. Der Jordan-Form ist mit J als Jordan-Normalform. Das heißt,

wir warten, dass wir die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen haben und auf der ersten

Nebendiagonalen entweder 1 oder eine 0. Gut, wie gehen wir vor? Wie immer, wir fangen an,

damit Eigenwerte zu bestimmen über das charakteristische Polynom. Das heißt,

wir bestimmen die Eigenwerte von A mittels der Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Schreiben wir es mal hin. Das charakteristische Polynom von A in der Variablen t ist gerade

gleich die Determinante der großen 5 Kreuz 5 Matrix. Ich schreibe es noch einmal an. 5

minus t, 0, 1, 0, 0, 0, 1,5 minus t, 0, minus 1,5, 0, minus 1, 0, 3 minus t, 0 und 0. Also

wir ziehen eigentlich nur t von der Hauptdiagonalen ab. Das kennen Sie mittlerweile. 1,5, 0, 3,

halbe minus t, 0, 0, 0, 0, 0 und 4 minus t. Genau, ich habe gerade schon angekündigt,

man nimmt vermutlich den Laplatschen Entwicklungssatz zur Entwicklung der Determinante. Das kann man

zuerst auf den Eintrag unten rechts anwenden. Das heißt, dann könnte man das Ganze ein

bisschen ausfaktorisieren. Diesen einen Schritt wollen wir noch einmal machen, nur um es noch

einmal gesehen zu haben. Das heißt, wir haben minus 1. Jetzt müssen wir Zeilen und Spaltenindex

als Exponenten schreiben. Also das fünfte Zeile plus fünfte Spalte multipliziert mit dem Eintrag.

Das war 4 minus t, mal der Determinante des übrigbleibenden Blocks. Jetzt nur noch 4

Kreuz 4. Das ist 5 minus t, 0, 1, 0, 0, 1,5 minus t, 0, minus 1,5, minus 1, 0, 3 minus t und 0

und 0, 1,5, 0, 3,5 minus t. Das kann man jetzt rekursiv weitermachen. Das heißt, man könnte sich

jetzt wieder eine andere Zeile oder Spalte aussuchen, nach der man entwickeln möchte. Ich überspringe

jetzt mal die ganzen Zwischenschritte, denn ich glaube, so viel werden Sie jetzt nicht dabei

lernen. Wenn ich die echt ausführlich durchführe im Skript, ist es dann detailliert aufgeschlüsselt.

Wo Sie am Ende rauskommen, ist da, dass das charakteristische Polynom folgende Form hat.

Es ist 4 minus t hoch 3, mal 1 minus t². Das ist hier das charakteristische Polynom.

Und die erste Beobachtung, die wir machen können, ist schon mal, dass das charakteristische Polynom

in Linearfaktoren zerfällt und damit ist die Matrix A trigonalisierbar.