Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, schönen guten Morgen. Toll, dass wir es auch heute wieder geschafft haben in diesem schönen

klimatisierten Hörsaal. Zur Belohnung gibt es heute auch ein paar Urlaubsbilder zu sehen,

ich verspreche es, aber nicht gleich am Anfang. Ja, wir wollen uns heute mit der

Finite Element Methode befassen, ich habe es gestern schon angedeutet.

Die Folien sind jetzt hochgeladen, aber erschrecken sie nicht, das ist jetzt ein sehr großer Block,

diese Finite Element Methode, aber das ist jetzt nicht der Hauptgegenstand dieser Vorlesung,

insofern soll das jetzt nicht in der Ausführlichkeit behandelt werden,

wie es die Folien vielleicht zunächst mal vortäuschen, also das ist jetzt ein Block aus

der numerik-parzieller Differential Gleichungen und wir wollen hier sozusagen nur mal drüber fliegen,

um einen Eindruck zu gewinnen, worum es geht bei den Finiten Elementen. Also insofern werde ich jetzt

auch, ich habe jetzt nicht die ganzen Folien durchgekürzt, sondern wir werden halt dann öfters

ein paar Sprünge machen und Dinge weglassen, die jetzt auf den Folien sind, wie gesagt,

das Ganze macht man ausführlich dann in der numerik-parzieller Differential Gleichungen.

Ja, warum das Ganze? Wir haben das letzte Mal schon gehört, dass die Finite Differenzen Methode

einige Unzulänglichkeiten hat, also es gibt Probleme bei so Sachen wie springenden Koeffizienten,

bei unregelmäßigen Rändern, zum Teil kann man diese Sachen trotzdem behandeln und beheben,

erkauft sich da unter Umständen den Verlust der Konvergenzordnung und wir suchen deswegen eben nach

einem Verfahren, das sozusagen realere Probleme auch behandeln kann. Also das ist so eine typische

Simulation, die wir jetzt momentan uns anschauen, ja Poisson-Gleichung oder Laplace-Gleichung und

regelmäßige Skitter, diese Friedrichskeller-Triangulierung, aber sie können sich vorstellen,

wenn man sozusagen reale Probleme behandelt, dann hätte man doch lieber was Flexibleres,

also die Realität, das ist jetzt noch kein Urlaubsbild, sieht halt doch nicht so aus,

dass das, dass die ganzen Prozesse so schön regelmäßig sind und auf dem Einheitsgitter

passieren, sondern Beispiel jetzt, sie wollen Stofftransport oder Wassertransport simulieren,

dann haben sie es doch viel mehr mit solchen Problemen zu tun, wie sie oben sehen, so ein

Gebiet, dass sie da diskritisieren müssen, erstreckt vielleicht ja Quadratkilometer unter

Umständen, wenn sie ein großes Stofftransportproblem haben und sie sehen auch ihr Gebiet selber ist

alles andere als homogen, sie haben da natürlich springende Koeffizienten, wenn sie jetzt

Eigenschaften ihres Gebiet beschreiben, zum Beispiel was die Fließfähigkeit, die Leitfähigkeit

ihres Bodens angeht, dann ist es klar, dass das alles ziemlich heterogene Probleme sind und sie

damit so regelmäßigen Ansätzen eben nicht sehr weit kommen. Also das nun mal so die Konzeptionalisierung

das Ganze, sie haben da eine Vielfalt von Problemen, die damit reinspielen, auch viele

verschiedene Gleichungen unter Umständen miteinander gekoppelt und wollen das dann eben diskritisieren,

möglichst naturgetreu sozusagen, also sie müssen alles abbilden, was relevant ist für ihren Prozess,

den sie betrachten und kriegen dann eben eher solche Auflösungen wie im rechten unteren Bild,

das wäre jetzt ein Beispiel eben für so eine finite Elementdiskritisierung, für so ein ziemlich

allgemeines Gebiet, also sie sehen hier dann so Höhenlinien, was zum Beispiel eben ihren

Wasserstand im Gebiet darstellen kann und müssen halt die Oberflächen irgendwie abbilden und sowas

ist mit finiten Differenzen eben an der Oberfläche da extrem schwierig zu machen. Ein Beispiel jetzt

vom Grundwasserfaschungszentrum in Dresden, mit dem wir da kooperieren und hier noch mal so eine

ganz plakative Übersicht erstmal, was man eigentlich möchte, was man sich erwartet von so

Diskritisierungsverfahren bei reellen Anwendungen. Sie wollen vielleicht eine allgemeine Strategie

also Schichtung ihres Gebiet abbilden, sie wollen lokale Verfeinerung eben haben, weil ihr Problem

halt in unterschiedlichen Bereichen unterschiedlich anspruchsvoll ist. Vielleicht wenn sie jetzt zum

Beispiel eine Schadstofffahne betrachten, dann wandert die ja irgendwie durch ihr Gebiet durch

und sie müssen nicht in jedem Punkt eine feine Auflösung haben, aber da wo die Fahne ist, wollen

sie eben genau rechnen und auflösen. Deswegen sind adaptive Verfahren da eben so ein Mittel der Wahl,

dass sich sozusagen ihre Diskritisierung, ihre Feinheit mit der Wolke da mitbewegt, mit ihrem

Problem mitbewegt oder mit ihren Fronten. Sie haben Unstetigkeiten eben in den ganzen Parametern,