So, guten Morgen zusammen.

Ja, wir sind dabei, uns mit Polyedern zu beschäftigen, weil die die Grundlage sind für die linare

Optimierung.

Linare Optimierung heißt, ein linares Funktional über einem Polyeder zu minimieren oder zu

maximieren. Und manche von Ihnen werden schon vorab vom Simplex-Verfahren gehört haben,

vielleicht eines der allerwichtigsten Hervorbringungen der Mathematik der letzten

50, 100, 500 Jahre insgesamt, insbesondere wenn man sozusagen die gesellschaftliche Relevanz

bewertet. Und das Simplex-Verfahren wird so funktionieren, dass wir in geschickter Weise die

Ecken entlang von Kanten eines Polyeders absuchen auf der Suche nach dem Minimum. Dafür ist

natürlich jede Menge A priori-Information nötig, um das zu rechtfertigen. Wir müssen wissen,

darauf wird es hinauslaufen, dass das Minimum im typischen Fall in einer Ecke angenommen wird,

dass wir wirklich auf diese Weise nur an den Kanten entlang zu laufen auch zum Ziel kommen.

Das heißt, wir werden jetzt verstärkt den Zusammenhang zwischen einem Polyeder und seinen

Ecken untersuchen. Nochmal, was ist eine Ecke? Eine Ecke ist einfach eine nulldimensionale Seite. Eine

Seite ist alles, was an niederdimensionalen Polyedern definiert wird, dadurch, dass wir

Gleichheit bei einigen der Ungleichungsbedingungen fordern. Und wir haben auch gesehen, wie wir die

Dimensionalität einer Seite sehen können. Wir müssen im Wesentlichen die linauunabhängigen

Bedingungen zählen, die mit Gleichheit erfüllt sind. Was für eine Ecke bedeutet, wir brauchen N,

wenn wir im n-dimensionalen Raum sind, wir brauchen N Bedingungen, die mit Gleichheit erfüllt sind.

Mit diesem Satz haben wir das letzte Mal geendet. Ich will ihn jetzt nicht beweisen,

weil er im Folgenden keine zu große Rolle mehr spielt. Er zeigt nochmal sozusagen diese

rekoersive Struktur, die wir haben, nämlich, dass wir eben mit den Seiten und insbesondere mit den

n-1-dimensionalen Seiten, wobei wir noch nicht wissen, ob es die gibt oder wann es die gibt,

wiederum niederdimensionale Polyeder haben. Diese haben wiederum Seiten und so geht das

sukzessive der Dimensionsmäßig runter. Dass es wirklich n-1-dimensionale Seiten gibt,

ist Aussage dieses Satzes für den Fall unter Ausschluss des trivialen Satzes, falls P gleich

V. Klar, dann geht das nicht. Und es macht auch eine Aussage, wie wir sozusagen wieder

zurückkommen, nämlich, dass wir jede d-dimensionale Seite interpretieren können als Seite einer d

plus 1-dimensionalen Seite, unter Voraussetzung, dass d kleiner gleich n minus 2 ist. Und im Fall

n minus 2 können wir uns auch überlegen, dass diese n minus 2-dimensionale Seite nach Aussage b ist

die natürlich Teil oder ist die Seite einer n minus 1-dimensionalen Seite. Man kann sich relativ

einfach überlegen, dass sie Teil oder Seite von zwei solchen n minus 1-dimensionalen Seiten ist und

die eigentliche Aussage, die hier steht, ist das genau. Also jede n minus 2-dimensionale Seite

gehört zu genau zwei n minus 1-dimensionalen Seiten, was natürlich auch alles vollständig mit unserer

geometrischen Vorstellung übereinstimmt. Aber jetzt gehen wir mal weiter und auf dieses Ziel zu

Polyeder, ein Polyeder und seine Ecken und beschäftigen uns erst einmal damit, wie können

wir jetzt genauer charakterisieren, dass eine Ecke vorliegt. Hier in diesem Satz sind vier

äquivalente Kriterien, es sind drei äquivalente Kriterien angegeben zur Aussage, dass ein Punkt

p eines Polyeders eine Ecke des Polyeders ist. Was unter b steht, ist einfach nur noch mal eine

Reformulierung der, nicht der Definition, aber das, was wir sozusagen schon über die Dimensionalität

von Seiten kennengelernt haben, was ich gerade noch mal zitiert habe. Wir brauchen eben für

eine Ecke als nulldimensionale Seiten gerade n minus 0 gleich n, unabhängige Linearformen,

die mit Gleichheit hier realisiert werden. Das ist das, was noch mal unter b steht, da müssen

wir nichts für zeigen, dass a und b äquivalent sind. Die anderen beiden sind schon etwas

interessanter. In c wird auch eine Aussage gemacht, die auch mit unserer geometrischen

Vorstellung übereinstimmt, nämlich, dass eine Ecke eben dadurch charakterisiert ist,

dass es einen Halbraum gibt, der muss jetzt nichts mit diesen, das h muss jetzt nichts mit den

definierenden Halbräumen des Polyeders zu tun haben, dass es einen Halbraum gibt, gegeben durch

eine Linearform h und durch ein c, der Gestalt, dass dieser Halbraum das Polyeder genau in diesem

einen Eckpunkt schneidet. Das ist keinerweise eine Eindeutigkeitsaussage, das wird dann viele