Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über symmetrische Matrizen gesprochen. Das sind

quadratische, also n x n-Matrizen. Für die gilt A transponiert gleich A. Die Matrix ist

gleich ihrer transponierten. Wir haben über die Eigenwerte solcher Matrizen gesprochen. Im

Allgemeinen ist es ja so, wenn Sie eine beliebige n x n-Matrix haben, auch wenn alle Matrixeinträge

reell sind, können die Eigenwerte trotzdem komplexe Zahlen sein. Bei den symmetrischen

Matrizen ist das nicht so. Bei den symmetrischen Matrizen finden Sie immer reelle Eigenwerte.

Der Grund ist folgender. Sie finden hier sogar eine Basis aus Eigenvektoren, aus reellen Eigenvektoren

und das kann außerdem noch eine Ortonormalbasis sein. Die kann so gewählt werden, dass sie eine

Ortonormalbasis ist. Das heißt, diese Matrizen sind diagonal ähnlich. Die ähnlichen Matrizen

haben ja die gleichen Eigenwerte und das heißt, auf dieser Diagonalen stehen bei der Diagonalmatrix

die Eigenwerte und hier sind die eben reell. Das ist eine reelle Diagonalmatrix, denn diese

symmetrischen Matrizen haben reelle Eigenwerte und die kann man dann auf die Diagonale einer

Matrix schreiben und diagonal ähnlich heißt dann, es gibt eine Transformationsmatrix,

die nehme ich hier einmal q und das gilt dann die Gleichung q minus 1 multipliziert mit der

Matrix A multipliziert mit q ist diese Diagonalmatrix D, eine reelle Diagonalmatrix und hier ist es sogar

so, man kann diese Transformationsmatrix so wählen, dass das eine Ortogonalmatrix ist.

Also dann gilt q transponiert ist gleich q hoch minus 1, also dieses q hoch minus 1 hier kann man

auch ersetzen durch q transponiert, weil es eine Ortogonalmatrix q ist. In der letzten Vorlesung

haben wir ja auch diesen Begriff der ähnlichen Matrizen diskutiert und allgemein gilt die Spalten

dieser Transformationsmatrizen sind Eigenvektoren der Matrix A, die Ith Spalte entspricht dann dem

Ithen Eigenwert auf der Diagonalen, also da haben wir ja auch n Eigenwerte stehen und der Ith

Eigenwert hier hat als Eigenvektor die Ith Spalte dieser Transformationsmatrix und hier kann man die

Spalten so wählen, dass sie eine Ortogonalbasis des R hoch N bilden. Es gibt also eine Ortogonal

Basis aus Eigenvektoren von A, nämlich Spalten von q. Also wenn diese Gleichung gilt, dann

liefern die Spalten von q solch eine Ortogonalbasis und wenn man die Ortogonalbasis hat, dann kann man

daraus natürlich auch so eine Transformationsmatrix, eine Ortogonale Transformationsmatrix q bilden.

Im nächsten Abschnitt geht es auch noch um symmetrische Matrizen, aber um spezielle

symmetrische Matrizen. Diese Eigenwerte sind ja reelle Zahlen. Bei den reellen Zahlen gibt es welche,

die größer als Null sind, dann gibt es die Null und welche, die kleiner als Null sind. Und besonders

interessant sind symmetrische Matrizen, wo alle Eigenwerte größer als Null sind, weil dann eine

Abbildung, eine quadratische Form, die man dieser Matrix zuordnen kann, immer nur positive Werte

annimmt für x ungleich Null. Was das heißt, definieren wir gleich. Diese quadratischen Formen,

von denen jetzt die Rede ist, können Sie sich als eine Energie vorstellen. Also Form heißt hier,

das ist eine reellwertige Abbildung. Jedem Vektor x ordnen Sie eine Zahl zu und quadratische Form

heißt, diese Abbildung wird berechnet, indem Sie eine Summe von Quadraten mit Koeffizienten

addieren. Also da kommen nur Terme vom Grad 2 vor. Also der nächste Abschnitt heißt quadratische

Formen. Wir gehen aus von so einer symmetrischen Matrix A zu einer symmetrischen

Matrix groß A mit den Einträgen a, j. Wie üblich n x n Matrix gehört eine quadratische Form.

Und diese quadratische Form ist eine Abbildung, eine Funktion.

Dies ist die Funktion QA von x, die ist der Matrix zugeordnet, eine reellwertige Funktion und die wird

berechnet aus x transponiert mal a mal x für einen Vektor x aus dem R hoch N. Wenn x im R hoch N ist

und wir diese n x n Matrix A haben, dann ist ja a mal x auch ein Vektor im R hoch N. Wenn Sie dann x transponiert mal

diesen Vektor bilden, dann ist das ja ein Skalarprodukt. Das heißt, am Ende kommt hier eine Zahl heraus.

Und die Zahl wird berechnet als Summe von quadratischen Termen. Ausgeschrieben ist das nämlich die Summe

über i und j von 1 bis n der Terme a, j mal x i mal x j. Und das x ist dabei ein Vektor aus dem R hoch N

mit den Komponenten x i. Also diese quadratische Form ist skalarwertig.

Da kommen reelle Zahlen heraus und ja, das kennen Sie von Energien. Die ordnet man einem Zustand zu

und Energien sollten immer positive Werte haben. Und wenn diese Funktion nur Zahlen als Werte hat,

die größer als Null sind, außer für x gleich Null, dann nennt man die Abbildung positiv definit.