Diese Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Sie sehen das Thema der Vorlesungen lineare Differentialgleichungen mit konstanten

Koeffizienten. Wir haben ja in den letzten Vorlesungen auch schon etwas über lineare

Differentialgleichungen gehört, aber da konnten die Koeffizienten noch von x abhängen. Und hier sind

diese Koeffizienten vor den Ableitungen y- und y- und so weiter wirklich durch

Konstanten gegeben, also reelle Zahlen, die nicht x abhängig sind. Und wir haben ja

im Allgemeinenfall die Theorie gesehen mit der Wronzki-Matrix, der Wronzki-

Determinante. Und da war es im Allgemeinen mühsam ein Fundamentalsystem

zu konstruieren. Jetzt kommt eigentlich der gute Fall. Also wenn die

Koeffizienten konstant sind, dann haben sie so einen Algorithmus, der ihnen immer

ein Fundamentalsystem dafür konstruiert. Und zwar geht das über ein

charakteristisches Polynomen. Sie erinnern sich vielleicht an Eigenwerte

von Matrizen und die berechnet man ja als Nullstellen des charakteristischen

Polynoms der Matrix. Und die Konstruktion hier ist ganz ähnlich, deshalb heißt

das Polynom hier auch charakteristisches Polynom. Also aus der gegebenen

Differentialgleichung gewinnt man ein Polynom und die Polynom Nullstellen

liefern dann ein Fundamentalsystem. Bei einer Differentialgleichung N zur

Ordnung bekommen sie ein Polynom vom Grad N. Das hat dann N Nullstellen mit

Vielfachheit und die Nullstellen liefern dann N linear unabhängige Lösungen und

die sind dann ein Fundamentalsystem. Das ist also ein sehr guter Fall,

der ist weniger kompliziert als der im letzten Kapitel, wo die Koeffizienzen x

abhängig sein konnten. Unser Differentialoperator L y hat hier

also folgende Form. Wir fangen mit der höchsten Ableitung an. Beim Grad N ist

das die N-te Ableitung und den Koeffizient vor der N-te Ableitung können wir auf 1

normieren. Also einmal die N-te Ableitung und dann kommt a N minus 1 mal die N

minus 1 Ableitung und so geht es weiter. Plus a 1 mal y Strich plus a 0 mal y. Die

N-te Ableitung ist ja die Funktion selbst. Und diese a i sind hier keine

Funktionen, sondern reelle Zahlen. a i Element r, das sind die konstanten

Koeffizienten. Zu diesem Differentialoperator gehört dann als homogene

Differentialgleichung L y ist gleich 0. Mit der rechten Seite 0 haben sie die

homogene Differentialgleichung, wie sie das schon kennen.

Diese linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind

natürlich ein Spezialfall der linearen Differentialgleichungen aus dem letzten

Kapitel. Deshalb ist der Lösungsraum der homogenen Differentialgleichungen auch

wie gehabt durch eine Basis gegeben, die den Aufspann, also N linear unabhängige

Basislösungen spannen dann den kompletten Lösungsraum dieser homogenen

Differentialgleichung auf. Oft hat man als rechte Seite nicht 0, sondern eine

gegebenen Störfunktion b von x. Das ist dann die inhomogene Differentialgleichung.

Die sieht so aus L y gleich b von x. Das ist die inhomogene Differentialgleichung

und diese Funktion b von x ist dabei ungleich 0. Die nennt man auch Störfunktion.

Im letzten Kapitel haben wir ja eine particuläre Lösung dieser inhomogenen

Differentialgleichung mit der Variation der Konstanten konstruiert. Hier gibt es

einen einfacheren Weg und zwar einen Ansatz vom Typ der rechten Seite. Die

rechten Seiten sind ja oft Funktionen mit Polynomen, trigonometrischen Funktionen

und Exponentialfunktionen und für diese Funktionen kann man einen Ansatz auch von

diesem Typ machen und dann gewinnt man eine particuläre Lösung dieser

inhomogenen Differentialgleichung durch Koeffizientenvergleich. Also das ist auch

hier ein Verfahren, das wesentlich bequemer ist als in dem allgemeinen Fall,

wo die Koeffizienten auch x abhängig sein können.

Bemerkung bei den Differentialgleichungen ist es ja oft so, dass die Lösungen nicht