Hallo, guten Morgen. Sie haben sich das letzte Mal die exakte Lösung vom 1D-Easing-Modell angeschaut.

Sie haben gelernt, dass es zwar bei tiefen Temperaturen eine Tendenz gibt, dass sich immer mehr und mehr Spins in größeren Domänen ausrichten,

aber es ist niemals passiert, dass wir wirklich einen Phasenübergang haben. Das heißt, im 1D-Easing-Modell finden wir keinen Phasenübergang,

wir finden keine magnetische Ordnung. Das ist zunächst einmal ein bisschen erstaunlich, nach dem, was wir gesehen haben in der Simulation,

nach dem, was man auch in der Molekularfeldnäherung gesehen hat. Aber Sie haben am Ende noch besprochen, woher das in einer Dimension kommt.

Das liegt daran, dass es nur eine kleine, endliche Energie kostet, eine Domänenwand zu produzieren,

und dann können die Domänen beliebig groß werden.

Also wenn Sie Spins haben, die in einer Richtung ausgerichtet sind, dann kostet es nur an dieser einen Stelle,

wo die Domänen mit den Spins, die nach oben weisen, trifft auf die Domänen mit den Spins, die nach unten weisen.

Nur an dieser Stelle kostet es Energie, weil auf dieser Bindung sozusagen die Spins in die verkehrte Richtung zeigen.

An allen anderen Bindungen haben wir wieder die minimal mögliche Energie.

Und was sich nun zeigt, ist, dass zwar wir diese endliche Kosten an Energie haben, aber gleichzeitig kann die Domänenwand sich beliebig hin und her verschieben.

Das heißt, es gibt sehr viele verschiedene Konfigurationen, die von dieser Gestalt sind.

Und das führt nun dazu, dass sozusagen die Entropie gewinnt.

Und das heißt, bei jeder endlichen Temperatur werde ich typischerweise eher solche Konfigurationen antreffen, als eben die speziellen Konfigurationen,

wo alle Spins in einer Richtung ausgerichtet sind.

Und man kann sich jetzt fragen, wie ist das in höheren Dimensionen? Sagen wir in zwei Dimensionen.

Nun auch in zwei Dimensionen kann ich von Domänen reden. Also ich könnte sagen, es gibt eine Vorzugsrichtung, alle weisen nach oben.

Und auch da ist es mir möglich, Domänen zu erzeugen, die nur endliche energetische Kosten verursachen.

Das kann ich sehr einfach machen, wenn hier nur ein paar Spins in die falsche Richtung gewissermaßen weisen.

Dann gibt es auch da einen Energiebeitrag und der kommt auch da nur von der Domänengrenze, von der Domänenwand.

Und solange die Domänenwand endlich groß ist, ist die Energie auch nur endlich groß.

Und auch da gilt dann wieder, dass ich einen großen Entropiebeitrag bekommen kann, indem ich die Domäne hin und her verschiebe.

Und das zeigt uns auch da, dass selbst da, auch in zwei Dimensionen oder drei Dimensionen, bei jeder endlichen Temperatur,

ich zu erwarten habe, dass ich immer mal wieder hier und da solche fluktuierenden kleinen Domänen habe,

in denen die Spins in die falsche Richtung gewissermaßen weisen.

Aber das alleine macht ja die Vorzugsrichtung noch nicht kaputt.

Das sind die kleinen Fluktuationen, die auf dieser Vorzugsrichtung drauf sich befinden.

Das hatten wir auch in der Simulation gesehen. Das war nicht so erstaunlich.

Trotzdem hatten wir insgesamt eine mittlere räumliche Magnetisierung, die ungleich null war.

Das, was nun wirklich die Gesamtmagnetisierung zerstören könnte, das wären Domänen, die sich praktisch erstrecken über das gesamte System.

Aber da ist dann das Problem, dass nun die Domänenwand auch groß sein muss.

Ihre Länge muss ja mindestens die Kantenlänge von dem ganzen System sein oder von dieser Ordnung.

Das heißt, wenn ich das System größer und größer mache und möchte solche Konfigurationen haben,

dann haben die auch immer größere und größere Energie.

Und das ist der ganz gravierende Unterschied zu einer Dimension.

In einer Dimension kann diese Domäne immer größer werden und trotzdem habe ich nur eine Domänenwand,

die einen endlichen Energiebeitrag hat. Das ist der große Unterschied zwischen einer Dimension und mehr Dimension.

Das gibt uns schon zu erwarten, dass vielleicht die magnetische Ordnung in höheren Dimensionen tatsächlich stabiler ist.

Das wird sich auch so herausstellen.

Bevor wir aber dazu gehen, will ich doch noch etwas besprechen, was mit einer Dimension zu tun hat.

Und zwar, wir wollen uns anschauen, die Korrelationsfunktion der SPINs, einfach um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie groß die Domänen sind.

Eigentlich haben wir schon einen Indiz dafür, dass die Domänen bei tiefen Temperaturen immer größer werden.

Und das Indiz ist einfach in der Susceptibilität. Wir haben gesehen, die Susceptibilität wird groß.

Und wir hatten früher mal hergeleitet in einen Zusammenhang zwischen der Susceptibilität und der typischen Domänengröße.

Aber das wollen wir jetzt noch mal explizit sehen.

Und ich will kurz vorführen, wie man im Prinzip diese Transfermatrix-Methode, die Sie kennengelernt haben, auch verwenden kann, um Korrelationsfunktionen exakt auszurechnen.

Also das heißt, wir wollen eigentlich diese Größe berechnen. Was ist das gemittelte Produkt zwischen den beiden SPINs an den Stellen L und J?

Und wir erwarten, dass, wenn die weiter voneinander entfernt sind, sie im Wesentlichen unabhängig fluktuieren, dann wird die Korrelationsfunktion Null sein.

Wenn sie nahe benachbarten sind, dann werden sie oft in dieselbe Richtung weisen, da wird die Korrelationsfunktion nahe bei eins sein.