Hallo, das letzte Mal haben wir über den Nullstellensatz von Bolzano gesprochen und

als nächstes wollen wir eine der wichtigsten Anwendungen dieses Satzes besprechen.

Noch mal ganz kurz der Nullstellensatz von Bolzano zur Erinnerung, wie so.

Wir haben eine stetige Funktion, die auf einem kompakten Intervall definiert ist und Stetigkeit

ist hier wirklich extrem wichtig natürlich.

Und wenn f von a b und f von b unterschiedliches Vorzeichen haben, dann muss f in dem offenen

Intervall a b mindestens einen Nullsteller haben.

Und meistens kombiniert man das dann mit einem Modulatonieargument und kann damit dann

zeigen, dass man genau einen Nullsteller hat.

Die Folgerung davon ist der Zwischenwertsatz von Bozzano und wir werden deutlich häufiger

den Zwischenwertsatz brauchen als den Nullstellensatz bzw. der Zwischenwertsatz könnte man sagen

das ist eine Fragmeinerung des Nullstellensatzes.

Und das geht hier folgendermaßen, wir haben wieder eine stetige Funktion auf dem Intervall

a b und f von a ist ungleich f von b.

Das heißt, wir haben jetzt hier a und b und f von a ist vielleicht das hier und f von b

ist vielleicht das hier.

Und jetzt ist die Aussage, dass jeder Zwischenwert Xi zwischen f von a und f von b, also hier

ist f von a, hier ist f von b, dass jeder Zwischenwert Xi, der dazwischen liegt, mindestens

einmal als Funktion des Werts angenommen werden muss.

Und das Giz ist natürlich irgendwie klar, f geht irgendwie runter, also muss es nicht

irgendwie runter gehen, es kann doch irgendwas machen, es kann irgendwas wildes machen, aber

wenn sich diese beiden Linien irgendwie treffen sollen, also irgendwas muss hier zwischendrin

passieren, irgendwo muss diese Funktion dieses Niveau treffen.

Es geht nicht anders.

Also die Aussage des Zwischenwertsatzes ist, dass jeder Zwischenwert Xi, der zwischen f

von a und f von b liegt, mindestens einmal angenommen wird.

Also für jedes Xi zwischen f von a und f von b gibt es mindestens einen x Stern in Erinnerung

von a und b, sodass f von x Stern gleich Xi ist.

Oder man kann auch sagen, jedes Element von dieser Menge, also je nachdem wie es geordnet

ist, gehört zum Bild von f, also in diesem Bild hier f von b, f von a, ist eine Teilmenge

des Bildes von f.

Wie überweise mir das, ich habe gesagt, das ist eine Folgerung des Nullstellensatzes,

also die Skizze haben wir gerade schon gesehen, und der Trick ist jetzt, dass wir eine neue

Funktion definieren, auf die wir den Nullstellensatz anwenden können.

Das heißt, Xi ist jetzt erstmal ein Wert, der jetzt erstmal festgewählt wird, das heißt

wir können damit eine Funktion definieren, die ist f von x minus Xi, also unsere Funktion

davor irgendwie so aussah, dann verschieben wir die jetzt so, also angenommen, das ist

jetzt hier unser Xi, das wir uns anschauen, hier ist f von a und hier ist f von b, dann

verschieben wir das jetzt damit, so, dass unser Xi bei Null landet, und die Funktion

sieht dann so aus.

Und dann sind diese Größen hier natürlich f von a minus Xi und hier auch f von b minus

Xi.

Also hier ist a zufälligerweise gleich nahe bei Null, und diese blaue Kurve hier ist h

von x.

So, was bringt das?

Na ja, wir wissen, dieses Xi ist ein Wert zwischen f von a und f von b, das bedeutet,

eins von beiden ist größer, das andere ist kleiner, gleich Null, in dem Fall habe ich

jetzt so gezeichnet, dass das hier größer Not ist und das hier kleiner Not ist, und

nach dem Nullstellensatz existiert jetzt hier von h nach dem Nullstellensatz.

Und wie nennen wir die?