So, hallo, guten Morgen.

Wir waren ja stehen geblieben mitten im Beweis des Satzes über die Umkehrfunktion.

Der Satz ist ja recht einleuchtend.

Aus der linearen Algebra kennen Sie die Situation bei den linearen Abbildungen.

Wenn Sie eine Linieabbildung vom R hoch N in den R hoch N haben,

dann ist die invertierbar, wenn die Matrix invertierbar ist.

Und das ist ja eine quadratische Matrix.

Da können Sie auch sagen, wenn die Determinante ungleich Null ist,

ist die Abbildung invertierbar.

Und hier im Fall der nicht linearen Abbildungen

können Sie nur lokale Aussagen machen.

Lokal wird ja die nicht lineare Abbildung

abproximiert durch eine lineare Abbildung mit der Hessematrix.

Quatsch, mit der Funktionalmatrix als Matrix der linearen Abbildung.

Und wenn diese Funktionalmatrix in einem Punkt vollen Rang hat,

dann können Sie auch lokal um diesen Punkt diese Abbildung invertieren.

Und das sagt der Satz über die Umkehrfunktion.

Das ist jetzt nur eine Wiederholung.

Wir haben einen Definitionsbereich, D-Teilmenge R hoch N, eine offene Menge.

Die Abbildung F von D nach R hoch N ist stetig differenzierbar.

Wir haben einen Punkt X Null in dem Definitionsbereich

und die Funktionalmatrix D F in dem Punkt X Null ist regulär.

Also invertierbar, also die Determinante ist nicht Null.

Und dann ist die Situation folgende.

Wir haben hier den Punkt X Null und da gibt es dann so eine Umgebung U.

Und der Punkt X Null wird ja abgebildet auf einen Punkt F von X Null.

Und da gibt es dann passend dazu die Umgebung V.

Und da sind dann die Abbildungen invertierbar.

Also wenn man die Funktion nur auf der Umgebung U betrachtet,

also F eingeschränkt auf diese Umgebung,

ist dann invertierbar mit der Umkehrfunktion F hoch minus eins.

Und diese Umkehrfunktion ist dann auch stetig differenzierbar wie die Abbildung selbst.

Und wir haben auch eine Formel für die Funktionalmatrix.

Der Umkehrfunktion ist nämlich gerade dann die Inverse Matrix,

der Funktionalmatrix der anderen Funktion.

Dann gibt es also eine offene Umgebung U.

Also eine offene Umgebung U, Teilmenge D mit X Null Element U,

sodass die Funktion F als Funktion von U zu der Bildmenge F von U,

und das ist dann unser V, vertierbar ist.

Also eine stetige Umkehrfunktion F hoch minus eins,

und die geht dann von V nach U, also umgekehrt zurück von V nach U,

besitzt.

Und die Umkehrfunktion ist dann auch wieder stetig differenzierbar,

nicht nur stetig, sondern sogar stetig differenzierbar.

Und dann gilt die Formel für die Funktionalmatrix der Umkehrfunktion

an so einer Stelle Y für Y Element V.

Das ist dann gerade die Inverse der Funktionalmatrix von F an der Stelle X.

Also hier steht das hoch minus eins außen.

Das ist das hoch minus eins für die Inverse Matrix.

Ja, alle Y Element V und das F von X ist dann gleich Y.