Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen. Wir hatten uns die letzten zweimal, anderthalb Male etwas mit

definierter Elementmethode beschäftigt. Das ist natürlich wesentlich ausführlicher und wesentlich

fundierter Gegenstand der Einführung in die numerik partieller Differentialgleichungen,

aber da ich nicht hundertprozentig ausschließen konnte, dass es vielleicht doch jemand von Ihnen gibt,

der diese Vorlesung nicht hört, aus welchen Gründen auch immer, dachte ich, es ist vielleicht doch sinnvoll,

hier eine kleine Einführung in definiten Elemente zu geben.

Immerhin der Ansatz, auf den, würde ich mal sagen, vielleicht 90 Prozent der industriellen Forschung und Entwicklung beruht

und vielleicht sollte man mit dem Bachelor in Mathematik irgendwann dann auch mal davon gehört haben.

Wenn man der Meinung ist, dass Mathematik was Nützliches ist, muss man ja nicht sein.

Okay, wir wollen das einerseits heute ein bisschen konkretisieren, um zu sehen,

wie das mit Infinitidifferenzen-Verfahren, die wir studiert haben, zusammenhängen

und dann vielleicht auch ein bisschen Theorie oder mal so ein bisschen ein Gefühl für die Theorie da bekommen.

Ich erinnere noch mal daran, was die Vorgehensweise war.

Die war erst mal scheinbar ganz anders als bei den Differenzen-Verfahren und bei näherem Hinblick noch wesentlich natürlicher.

Wenn wir mal dieses Standardbeispiel anschauen, was wir uns ein paar Mal jetzt angeschaut haben,

wir haben die Poisson-Gleichung auf einem Gebiet Omega mit null Dirichlerand-Bedingungen,

dann haben wir gesehen, das können wir im Sinne überführen, wenn wir so einen Begriff der schwachen oder variationellen Lösung einführen.

Ich rechne das jetzt nicht noch mal nach.

Man multipliziert eben mit einer Funktion, mit der das alles möglich ist, was man da macht, integriert auf.

Dann geht natürlich dieser Punktweise-Lösungs-Sinn, den wir hier erst mal immer vorausgesetzt haben,

ein Differenzen-Verfahren, der macht das alles mit.

Wir können partiell integrieren, bekommen dann sowas wie Gradient U, Gradient Phi.

Das ist sozusagen das innere euklidische Produkt hier.

Ich hoffe, dass es auf dem Folien auch mal ein Punkt geschrieben war.

Eigentlich müssten jetzt Randterme entstehen durch die partielle Integration,

sozusagen partielle Integration mit dem Gaussian-Integralsatz.

Tun sie aber nicht, weil wir zum einen diese Randbedingung haben und zum anderen das Gleiche auch für unsere Testfunktionen hier voraussetzen.

Die rechte Seite wird einfach zu f mal Testfunktion, da tut sich gar nichts.

Die Testfunktionen müssen jetzt so sein, dass das alles funktioniert und dass diese Randbedingung irgendwie verankert ist.

Das ist gerade dieser Raum H1,0.

Das sind Funktionen, die ja im Verallgemeinerten Sinn erste Ableitungen besitzen, die L2-Funktionen sind, genau wie die Funktion selbst,

und die im gewissen abstrakten Sinn die Nullrandbedingung erfüllen.

In diesem Raum wird man dann auch diese schwache Lösung oder variationelle Lösung suchen,

das heißt abstrakt sieht das Problem so aus, was man da jetzt hat.

Wir haben einen Vektorraum V, das wäre in unserem Falle gerade der hier,

und wir suchen ein U aus diesem Raum, sodass die Variationsgleichung AUV gleich BV, haben wir das geschrieben, für alle V aus V gilt.

Wobei also das hier jetzt das lineare Funktional Bv wäre und das hier wäre dann die bilineare Form AUv in unserem Falle.

Das heißt also sozusagen, die unendliche Dimensionalität des Problems, das was sich in punktweisen Sinn eben dadurch bemerkbar macht,

dass man an jedem der schrecklich vielen Punkte in Omega und Rand von Omega eine Bedingung stellt,

macht sich jetzt dadurch bemerkbar, dass wir jetzt hier nicht eine Gleichung zu stehen haben,

sondern eben unendlich viele Gleichungen zu stehen haben, für jede Funktion aus diesem eben im allgemeinen sehr unendlich dimensionalen Vektorraum.

Die Approximation erfolgt nun durch den Gajorkin Ansatz,

dadurch, dass man sich einen endlich dimensionalen Raum wählt, VH,

H ist jetzt bloß eben sozusagen etwas, was diesen Raum indizieren soll, wird aber später natürlich so eine Schrittweite gemäß einer Gitter,

eines Gitters, wie wir es aus dem Differenzenverfahren kennen oder hier eben allgemeiner einer Triangulierung sein,

ein endlich dimensionales VH Teilmenge V.

Das heißt, wir haben die Situation, dass die Dimension von dem VH sozusagen ein N von H ist,

wo wir erwarten, dass sie gegen unendlich geht für H gegen Null.

Also H gegen Null, das soll sozusagen abstrakt andeutend ich näher mich dem Problem an