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zu gra Quem sammeln

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Normen eingeführt, aber so schrecklich viel mit Ausnahme von vielleicht ein paar

wenigen geometrischen Aufgaben, wo es auch um Abstände ging, nicht gemacht. Was

er eine Rolle gespielt hat, war das innere Produkt, das Kalarprodukt.

Wir wollen jetzt diesen Aspekt der normierten Vektorräume etwas vertiefen,

insbesondere dann in Richtung auf den Begriff der normierten bzw. genauer der

Banach-Algebren, also Strukturen, wie wir sie schon kennen, wo wir eben nicht nur

eine Vektorraumstruktur haben, sondern auch eine innere Multiplikation der

Objekte, also typischerweise die quadratischen Matrizen fallen darunter oder die Endomorphismen.

Das berührt jetzt natürlich ein bisschen auf den Stoff der Analyses. Ich habe mir

mal versucht, anhand ihrer Übungsaufgaben da einen Überblick zu verschaffen und

werde schauen, dass wir jetzt nicht zu viel über lab produzieren, wenn es mal ein

Minimalen gibt. Geht vielleicht die Welt auch nicht unter. Also, was ist die Grundlage?

Normbegriff, da muss ich glaube ich nichts mehr zu sagen. Das haben wir schon sehr lange

eingeführt und das kann man eben nicht nur auf R-Vektorräume, sondern auch auf C-Vektorräume

machen. Also, was ist eine Norm? Das ist eine Abbildung immer in die reellen Zahlen, auch

für einen C-Vektorraum. Es gilt die Dreieckungleichung, es gilt die Definite, das Skalare wandern

als ihr Betrag heraus. Die Norm ist immer größer als 0 und es liegt Definite vor, das heißt,

sie ist gleich 0 nur für den 0-Vektor. Und wir kennen auch die spezifische Situation,

dass eine Norm dann definiert wird über ein inneres Produkt. Das ist besonders angenehm,

das sind die Räume, mit denen man besonders viel anfangen kann. Und der wesentliche Zusammenhang

zwischen Norm und inneren Produkt ist dann die Cauchy-Schwarze Ungleichung, die sagt,

den Betrag des inneren Produktes zweier Vektoren lässt sich nach oben durch das Produkt der

Normen abschätzen. Okay, wir kennen einige Beispiele und erweitern die jetzt, indem wir

sie nicht nur auf dem R-Hoch-N, sondern allgemein auf den K-Hoch-N, also K ist jetzt hier immer

der doppel gestrichene K, also C oder R, ausweiten, wie sie sich schon in der Analysis gemacht

haben. Also, neben der euklidischen Norm kann man die P-Norm definieren. Die euklidische

Norm zeichnet sich, also P gleich zwei, zeichnet sich in dieser ganzen Familie dadurch aus,

dass sie eben von einem inneren Produkt erzeugt wird, dem euklidischen inneren Produkt. Und

was da gilt, was sie wohl auch schon in der Analysis bewiesen haben, was ich jetzt hier

nicht machen will, weil es eben ein reiner Analysisbeweis ist, ist die sogenannte höldersche

Ungleichung. Typischerweise zeigt man die über die sogenannte Janksche Ungleichung,

das ist im Prinzip die gleiche Überlegung für reelle Zahlen, wo zum Beispiel die Konkavität

des Logarithmus eingeht. Also Dinge, die sie jetzt schon können und ich glaube auch schon

gemacht haben. Was sagt die höldersche Ungleichung aus? Es ist jetzt eine Verallgemeinerung der,

gerade schon angesprochenen Cauchy-Schwarz-Ungleichung insofern, dass ich das innere Produkt oder

auch den Betrag des inneren Produktes, das innere Produkt ist jetzt immer hier das euklidische

innere Produkt, nach oben abschätzen kann durch das Produkt der Vektoren in zwei Normen.

Das eine ist die P-Norm und das andere ist eine dazu adjungierte Norm. So nennt man diesen

Index Q dann und der ist durch diese Formel hier bestimmt für P größer 1 oder griffiger

zu merken heißt das diese beiden Zahlen P und Q müssen sich in ihren Kehrwerten geradezu

1 ergänzen. Das heißt also P gleich 2 ist genau der Wert, der zu sich selbst konjugiert

ist. Das heißt für P gleich 2 reduziert sich das wieder auf die Cauchy-Schwarze Ungleichung

und ansonsten ist das eine neue Aussage. Jetzt gibt es die Grenzfälle P gleich 1, dann macht

diese Definition hier offensichtlich keinen Sinn, aber man kann die Gültigkeit dieser