Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Heute betrachten wir vor allem Beispiele für die Lösung der linearen Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten. In der letzten Vorlesung haben wir ja die Lösungsmethode

kennengelernt. Diesen linearen Differentialgleichungen kann man ja ein Polynom zuordnen.

Das charakteristische Polynom hat dieselben Koeffizienten wie die lineare Differentialgleichung.

Aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms gewinnt man dann ein Fundamentalsystem

für die Differentialgleichung. Wenn die rechten Seiten von einem gewissen Typ sind, mit Produkten

aus Exponentialfunktion, Polynom und trigonometrischen Funktionen, dann kann man particuläre Lösungen

der inhomogenen Differentialgleichungen durch den Ansatz vom Typ der rechten Seite gewinnen.

Da gibt es zwei verschiedene Fälle, diesen Resonanzfall. Wenn diese rechte Seite irgendwie

mit dem Fundamentalsystem, was man schon gerechnet hat, verwandt ist, dann muss man den Ansatz

entsprechend modifizieren. Das erreicht man, indem man eine genügend hohe X-Potenz noch

mit dieser Ansatzfunktion multipliziert. Wir hatten am Ende der letzten Vorlesung schon

ein Beispiel gesehen. Wir betrachten jetzt ein Anfangswertproblem mit einer ähnlichen

Differentialgleichung. Die homogene Differentialgleichung stimmt überein. y2' minus 4y' plus 3y ist

gleich g hoch 2x. In der letzten Vorlesung hatten wir auch diesen Differentialoperator,

aber mit einer anderen rechten Seite. Wir nehmen noch Anfangsbedingungen hinzu. y an

der Stelle 0 ist gleich y' an der Stelle 0 ist gleich 0. Das definiert unser Anfangswertproblem.

Das charakteristische Polynom ist dasselbe wie in der letzten Vorlesung. Wir schreiben

das Fundamentalsystem noch einmal hin, dass man aus den Nullstellen des charakteristischen

Polynoms bekommt. Das ist Schritt 1. Das charakteristische Polynom ist hier ja λ²

minus 4 mal λ plus 3. Da hat man Nullstellen 1 und 3 und das liefert das Fundamentalsystem.

Das haben wir in der letzten Vorlesung gesehen. y1 von x ist gleich e hoch x und y2 von x

ist gleich e hoch 3x. Diese beiden Funktionen bilden ein Fundamentalsystem für die homogene

Differentialgleichung. Im Schritt 2 suchen wir jetzt eine particuläre Lösung der inhomogenen

Differentialgleichung,

eine particuläre Lösung y' von x. Die finden wir mit diesem Ansatz vom Typ der rechten

Seite. Die rechte Seite ist ja hier e hoch 2x und bei diesem Ansatz ist es wichtig zu

gucken, ob diese rechte Seite mit dem Fundamentalsystem zusammenhängt. Dieses e hoch 2x gehört zu

λ gleich 2 und die Nullstellen sind λ gleich 1 und λ gleich 3. Das hat also nichts miteinander

zu tun. Das heißt, es ist ja kein Resonanzfall. Wir können also den einfachen Ansatz machen,

y' von x ist gleich eine konstante Groß a multipliziert mit e hoch 2x. Also ein Vierfaches

der rechten Seite ist unser Ansatz und das große a müssen wir jetzt noch so berechnen,

dass das y' tatsächlich unsere inhomogene Differentialgleichung erfüllt. Das ist ja

kein Resonanzfall. Damit wir diesen Ansatz in unsere Differentialgleichung einsetzen

können, benötigen wir die Ableitungen y' von x ist gleich 2 mal A mal e hoch 2x und

die zweite Ableitung y' 2' von x ist dann gleich 4A mal e hoch 2x. Diese Ableitungen

können wir jetzt in die Differentialgleichung einsetzen. Wir berechnen also y' 2' minus

4 mal y' Strich plus 3 mal y' was auch auf der linken Seite der Differentialgleichung

steht. Das a können wir ausklammern, das kommt überall als Faktor vor. Dann fangen

wir an mit der zweiten Ableitung, die liefert eine 4. Dann kommt 4 mal 2, das wird abgezogen

und dann wird noch eine 3 addiert. 3 mal 1 und das Ganze wird natürlich mit e hoch 2x

multipliziert. E hoch 2x taucht hier ja auch überall als Faktor auf. Das können wir jetzt

ausrechnen. 4 minus 8 plus 3 ist minus 1. Das Ganze ist also gleich minus A mal e hoch

2x. Das soll jetzt gleich unsere rechte Seite sein. Die rechte Seite ist ja e hoch 2x. Um

das zu lösen macht man jetzt einen Koeffizientenvergleich. Dieses e hoch 2x ist ja einmal e hoch 2x. Damit

wir eine particuläre Lösung haben, muss das minus A gleich 1 sein. Also das ist der Koeffizientenvergleich.

Minus A, der Koeffizient auf der linken Seite muss gleich 1 sein und daraus erhalten wir

A gleich minus 1. Das liefert uns unser y Stern. Also A ist gleich minus 1, das heißt

unser y Stern von x ist gleich minus e hoch 2x. Damit kann man die allgemeine Lösung