Funktionfolgen. Das ist das nächste was wir uns anschauen wollen. Wir wissen bereits was Folgen sind.

Folgen, die bewegen sich jetzt hier zum Beispiel auf der Achse der reellen Zahlen.

Und der Funktionsfolge ist eine Abfolge von Zahlen, die zum Beispiel gegen was kommunikieren.

Das ist hier eine Zahlenfolge. Und eine Funktionenfolge sieht folgendermaßen aus.

Wir starten zum Beispiel mit so einer Funktion, das ist jetzt F0. Also eine Funktionenfolge

ist eine Menge von Funktionen, die über einen Index n indiziert sind. Das heißt,

F0 kann sich so aussehen, F1 sieht vielleicht so aus, F2 sieht vielleicht so aus.

Und die können jetzt zum Beispiel gegen was kommunikieren.

F2, F3 und man kann sich jetzt fragen, was macht man damit?

Gibt es Kommergenz? Was heißt überhaupt Kommergenz von Funktionenfolgen?

Das ist jetzt nicht so klar wie man denken könnte. Es gibt viele verschiedene Arten von Kommergenz von Funktionenfolgen.

Wir werden zwei davon sehen. Und wir haben schon Folgen von Funktionen kennengelernt.

Wir haben sie noch nicht so genannt. Und zwar sind die Partialsummen einer Potenzreihe über n indiziert eine

Folge von Funktionen. Für jedes feste n ist die Partialsumme Sn eine Funktion.

Das heißt, wir haben jetzt hier für jedes n eine neue Funktion. Das wichtigste Beispiel, also das ist sogar eine Folge von Polynomen,

aber das ist jetzt unheimlich, ist die Folge von Funktionen. Das wichtigste Beispiel ist das hier, die

exponentiale Reihe. Da haben wir folgende Folge von Funktionen. Das da ist S0, die konstante Funktion 1.

Dann haben wir hier S1, das ist 1 plus x.

Vielleicht mache ich noch lieber Frau Kutti jetzt ein Foto zu Bild. Dann 1 plus x ist das hier.

So, das ist S1. Jetzt sehe ich, dass ich einen ungünstigen Ausschnitt gewählt habe.

Vielleicht mache ich noch mal neue.

Die 1 plus x plus x war eine halbe. Das ist jetzt eine Parabel. Die sieht jetzt so aus.

Dann wird es immer so weiter. Das konjugiert dann im Grenzwert gegen die Grenzfunktion,

die exponential Funktion. Ich weiß nicht so genau, wie sich das mit x² verhält. Ich denke, es ist ein bisschen steiler.

Hier ein bisschen flacher. Das konjugiert jetzt hier gegen die exponential Funktion.

An jeder Stelle x konjugiert der Funktionswert 1, 1 plus x, 1 plus x², das konjugiert gegen x von x.

Jetzt schauen wir uns das noch mal in dem Kontext mit den Potenzleien an.

Für jedes n haben wir jetzt hier eine feste Funktion.

Wir wissen bereits, dass diese Partialsummen für alle x auf dem Konvergenzbereich der Potenzrei

gegen eine Grenzfunktion konjugieren. Die exponential Funktion ist durch eine

Potenzrei definiert, die unendlich großen Konvergenzradius hat. Das heißt, wir können an jeder Stelle x aus C und aus R den Grenzwert aus öffnen.

Das heißt Punktweise Konvergenz. Wenn wir eine Folge von Funktionen haben,

für alle x gilt Fn von x konvergiert gegen F von x. Das ist jetzt hier ganz normale Folgenkonvergenz.

Das ist jetzt hier eine Folge in R und das eine Folge in R. Das ist einfach Fn von x, für festes x einfach immer eine ganz normale Folgenkonvergenz.

Das ist hier die formale Definition davon. Wir nehmen eine Folge von Funktionen, die kann auf C oder R oder wie auch immer so definiert sein.

Wir denken meistens nur bei reellwertigen Funktionen nach, aber es gibt auch ein C.

Diese Folge konvergiert punktweise auf dem Definitionsbereich gegen eine Grenzfunktion F, wenn wir Punktweise Konvergenz haben.

Wenn wir für jeden Punkt diese Konvergenz gilt, nämlich Fn ausgewählt in x, konvergiert für n gegen F von x.

Das geht in Konvergenz so, für jeden festen Punkt x, das heißt jetzt einfach nur,

limes end unendlich von Fn von x bis F von x. Das ist wirklich genau das, was rauskommt, wenn man das hier umschreibt mit der Folgenkonvergenz.

Für alle x, l, d und für alle Absolvose 0 existiert ein N0. Und dieses N0 darf jetzt von epsilon und x abhängen.

Das ist das Wichtige in dieser reinfragbaren Kontrolle.

Es wird jetzt von x und epsilon gesetzt und dann wird N0 abhängig von x und epsilon ausgerechnet.

Es gibt also ein N0, das für alle n bloß gleich N0 der Abstand von Fn von x und F von x klarer als epsilon ist.

Jetzt zum Beispiel, ich habe es noch mal diese Funktion an, das ist eine Knickfunktion.

Wie sieht die aus?

1 durch N sieht so aus hier. Die Funktion ist konstant. Noch mal ganz konkret für 1 durch 1.

N gleich 1. N gleich 1, die Funktion gleich 0 auf der negativen Zahl.

Dann geht sie wie 1 mal x auf dem Bereich von 0 bis 1.

Das ist jetzt hier 1. Und dann ist die Konstanz gleich 1 für alle x bloß.