Guten Morgen, wir können ja schon mal anfangen. Ich glaube einige kommen noch rein, aber ich fange ja sowieso mit einer Wiederholung an.

Was haben wir in der letzten Vorlesung gemacht? Da ging es um Taylor-Polynome. Die haben wir definiert.

Die Taylor-Polynome sind Polynome, wo die Koeffizienten durch Ableitungswerte einer Funktion bestimmt sind.

Also weil das Taylor-Polynome sind, nennt man sie T. Die gehören zu einer Funktion F und einer Entwicklungsstelle A und haben so einen Grad N.

Die kann man schreiben als Summe von K gleich 0 bis N. Dann kommt 1 durch K, Fakultät.

Dann als Koeffizient die Karte Ableitung der Funktion F an der Stelle A und dann kommt X minus A hoch K.

Also so sind diese Taylor-Polynome definiert. Die kann man also berechnen, wenn die Funktion an einer Stelle A N-mal differenzierbar ist.

Dann kann man die Koeffizienten berechnen und das Taylor-Polynom aufstellen.

Das Taylor-Polynom benutzt man oft als lokale Abproximation für diese Funktion F. Als Polynom ist es ja leicht zu berechnen.

Dann macht man die Sachen, die man eigentlich mit der Funktion F machen möchte, lieber mit diesem Taylor-Polynom, weil es einfacher ist.

Aber um da noch zu wissen, was passiert, muss man wissen, was mit dem Fehler los ist. Dafür definiert man das Restglied.

Das ist einfach die Differenz R N von X. Das ist die Differenz F von X minus dieses Taylor-Polynom.

So ist das Restglied definiert. An dieser Definition kann man jetzt noch nicht sehen, ob das groß ist oder klein ist.

Man möchte tendenziell, dass das Restglied klein ist. Falls das gegen Null geht, kann man die Funktion als Taylor-Reihe darstellen.

Also falls der Grenzwert Liemes für N gegen unendlich R N von X gleich Null ist, dann kann man F von X als Taylor-Reihe darstellen.

Zu den Polynomen kommt dann mit wachsendem N immer wieder ein Summand dazu und mehr und mehr Summanden.

Auf diese Weise erhält man eine unendliche Reihe. Summe K gleich Null bis unendlich.

1 geteilt durch K Fakultät, Fk-Ableitung an der Stelle a mal X minus a hoch K. Genau wie beim Taylor-Polynom, nur nimmt man alle Summanden mit.

Dafür schreibt man T von Fk-A. Das N gibt es ja jetzt nicht mehr. Das ist dann die Taylor-Reihe. Die kann man formal hinschreiben, wenn alle Ableitungen von F an der Stelle a existieren.

Dann sind diese Taylor-Koeffizienzen in der Taylor-Reihe alle definiert. Aber die andere Frage ist, ob das noch konvergent ist. Das weiß man dann noch nicht.

Wir haben ja ein Beispiel gesehen, wo der Entwicklungspunkt a gleich Null war und da verschwanden diese Ableitungswerte alle und der Funktionswert auch.

Die Taylor-Reihe war Null, aber die Funktion selbst war nicht die Null-Funktion. Das war ein Beispiel dafür, wo die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, aber die Taylor-Reihe trotzdem nicht konvergent ist gegen die Funktion.

Also konvergent zwar schon, aber nicht gegen die Funktion.

Um die Konvergenz zu untersuchen, hat man für das Restglied so übersichtliche Darstellungen.

Die Darstellung nach Taylor als Integralrestglied und die Darstellung nach Lagrange, die konnte man sich besonders gut merken. Es gilt nämlich N von x gleich 1 durch N plus 1 Fakultät.

N plus 1 Ableitung von F an einer Stelle Xi mal x minus a hoch N plus 1. Also hier ist dieses Restglied, sieht genauso aus wie der nächste Summand im Taylor-Polinum, also der N plus 1 Summand.

Bloß ist die Stelle a in der Ableitung von F ersetzt durch Xi und Xi ist eine Zwischenstelle, die kennt man nicht genau, aber man weiß, dass es sie gibt und sie liegt irgendwo zwischen x und a.

Also das ist das Restglied nach Lagrange.

Das ist für ein Xi zwischen a und x.

Wenn man weiß, wie die N plus 1 Ableitung aussieht, dann kann man oft den Betrag abschätzen und somit auch dieses Restglied nach oben abschätzen und dann kann man dadurch oft beweisen, dass diese Taylor-Reihe auch gegen die Funktion konvergiert.

Wir kommen zu einem Beispiel. Für die Exponentialfunktion kann man ja das Restglied leicht hinschreiben.

Da sind ja die Ableitungen alle gleich dieser Exponentialfunktion und das bestimmt dann auch das Restglied, also die N plus 1 Ableitung ist ja auch gleich e hoch x, das steht im Restglied also e hoch Xi.

Also Rn von x gleich 1 durch n plus 1 Fakultät e hoch Xi mal x hoch n plus 1, wenn a gleich 0 ist und dann liegt das Xi zwischen 0 und x.

Und das e hoch Xi ist ja eine feste Zahl, also da sieht man schon, dass der Fehler dann so aussieht wie x hoch n plus 1 durch n plus 1 Fakultät, also der geht dann recht schnell gegen die Null.

Für den Sinus können wir das Restglied auch mal hinschreiben. Der Sinus ist ja eine ungerade Funktion, also in dem Taylor-Polynomen in der Taylor-Reihe tauchen dann auch nur die ungeraden Potenzen auf.

Deshalb gilt hier R2n plus 1 von x ist das gleiche wie R2n plus 2 von x, weil da eh kein neuer Sommant dazu kommt.

Und das ist 1 durch 2n plus 3 Fakultät Sinus 2n plus 3 Ableitung an der Stelle Xi mal x hoch 2n plus 3.

Moment, da muss ich nochmal überlegen, da steht die N plus 1, also R2n plus 2 ist richtig, das ist das 2n plus 2 Restglied.

Und da kann man jetzt einsetzen, die Ableitungen vom Sinus sind ja immer abwechselnd Cosinus, Minus-Sinus und Minus-Cosinus in Abhängigkeit von der Größe von n.

Und bei 2n plus 3 kriegt man das Vorzeichen ein Minus 1 hoch n plus 1, weil das immer alterniert und die 2n plus 3 Fakultät bleibt stehen.

Und dann steht da ein Cosinus von Xi, also hier haben wir eine ungerade Ableitung vom Sinus und die erste Ableitung vom Sinus ist Cosinus.

Und dann kommt als dritte Ableitung Minus-Cosinus und dann wieder Cosinus und dann wieder Minus-Cosinus und so kommt das zustande.

Also hier ist das Vorzeichen, Minus 1 hoch n plus 1, das alterniert immer, da muss man nur schauen, dass es am Anfang stimmt.

Also was kommt bei der dritten Ableitung raus? Sinus, Cosinus, Minus-Sinus, Minus-Cosinus, also bei der dritten Ableitung kriegen wir ein Minuszeichen.

Und hier für n gleich 0 steht da Minus 1 hoch 1, das ist ja Minus 1, also das stimmt.

Und dann steht da Cosinus von Xi und dann bleibt noch das x hoch 2n plus 3 einfach stehen.

Also so kann man das Restglied dann für eine konkrete Funktion hinschreiben und dann ist das ja leicht nach oben abzuschätzen vom Betrag her,

weil Sie ja wissen der Betrag vom Cosinus ist sowieso immer kleiner als 1 und insofern muss das Ganze schon recht schnell gegen 0 gehen.

Es gilt also der Liemes für n gegen unendlich T von f, a, n von x ist gleich f von x genau dann,

wenn das Restglied für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert.