Ja, Grüß Gott zusammen, willkommen zur Weihnachtsvorlesung. Ich wurde gebeten,

mich mit entsprechender Kopfbedeckung zu versehen. Oh, das ist aber ein wenig eng.

Ich habe eine wesentlich größere Hutgröße. Das muss ich das nächste Mal beachten.

Okay, gut. Wir haben also heute zwei Teile, einen kleinen Teil, der noch dieses Gebiet

der Newton-Verfahren abschließt. Und dann kommen wir zum Weihnachtsteil. Das heißt,

also dann kommt der Glühweinausschrank rein und so. Na, ganz so toll ist es nicht,

aber so was Ähnliches. Okay, gut. Also was hatten wir letztes Mal gesehen? Wir kennen

das Newton-Verfahren in seiner Grundform, wo wir halt ein Iterationsverfahren dadurch

realisieren, dass wir lokal linearisieren. Das heißt, wir ersetzen das nicht-linare

Problem durch ein lineares Problem, müssen zum einen dieses lineare Problem aufstellen,

sprich die Jacobi-Matrix auswerten und dann lösen. Das sind zwei Dinge, die aufwendig sein können.

Und jetzt gibt es Ansätze, zumindest für große Probleme ist das sinnvoll, da

Vereinfachungen zu schaffen. Und wir hatten gesehen, wir können an dieser Matrix, wenn wir

das Newton-Verfahren in der Defektkorrekturform schreiben, das heißt, die rechte Seite ist Minus,

das Residuum, dann können wir an der Matrix Veränderungen vornehmen, solange diese

Matrizenfolge gleichmäßig beschränkt bleibt, werden wir immer ein konsistentes Verfahren

erhalten. Wir müssen dann halt in Anführungszeichen nur sicherstellen, dass das Verfahren weiterhin

und auch weiterhin akzeptabel gut konvergiert. Die eine Richtung wäre in Richtung vereinfachtes,

modifiziertes Newton-Verfahren. Radikaler Schritt wäre, die Jacobi-Matrix nur einmal auszuwerten,

an der ersten iterierten und dann stehen zu lassen. Der Vorteil ist, dass man dann eben sich das

auswerten spart und wenn man in vollbesetzten Matrizen, sprich in direkten Verfahren denkt,

muss man nur einmal die LR-Zerlegung bestimmen und hat dann nur noch vorwärts- und rückwärts-

substitutionen. Wenn mehr das Aufstellen der Matrix selbst das Problem ist, dann könnte man an

Differenzenquotienten zur Auswertung der Jacobi-Matrix denken. Von der Besetzungsstruktur des

entstehenden Gleichungssystems ändert sich dann nichts. Man muss aber da aufpassen, weil ja eben

das numerische Differenzieren ein schlecht konditionierter Vorgang ist, das heißt, man darf

diese Schrittweite nicht zu klein wählen und hat auf jeden Fall Ordnungsverschlechterungen dadurch.

Was wir uns angeschaut haben, jetzt etwas verstärkt, ist der andere Weg, dass man sagt,

okay, die Matrix wird durchaus exakt aufgestellt, aber das Gleichungssystem, das wir haben, dass wir

sind ja nicht wirklich darauf angewiesen oder vielleicht sind wir nicht wirklich darauf angewiesen,

dieses Gleichungssystem exakt zu lösen. Unser Ziel ist ja nicht dieses Gleichungssystem an sich,

sondern eben, dass es damit eine neue iterierte, die eben hoffentlich besser ist, als die alte

herzustellen. Das heißt, wir könnten genauso gut daran denken, dieses Gleichungssystem inexakt zu

lösen, mit einem gewissen Residuum behaftet nur zu lösen. Und das können wir insbesondere dann

machen, wenn wir iterative Verfahren anwenden, die dann eben so abbrechen, dass wir das Residuum

hier kontrollieren können. Und da hatten wir jetzt Folgendes gesehen, das war das letzte, was wir uns

überlegt hatten, war diese Abschätzung in dieser Situation, die noch ganz abstrakt ist, die also

nicht darauf eingeht, wie jetzt dieses Gleichungssystem gelöst wird, haben wir dann eine Fehlerabschätzung

für den K plus einen Fehler. Die Fehlerabschätzung hat den Typ, es taucht hier ein Faktor eins plus

roh auf, das heißt ein Faktor, der sozusagen beliebig wenig größer ist als eins. Und die Kleinheit

des rohes, die kontrolliert wiederum die Kleinheit der Delta-Umgebung um die Lösung herum, wo diese

Abschätzung gilt. Das ist so eine, wenn man so will, eher eine qualitative Aussage, dass in der Nähe

der Lösung man mit so einer Abschätzung hier rechnen kann. Und wie sieht die Abschätzung aus?

Sie hat, im ersten Summanten ist das der Fehler, den wir bekommen würden, wenn wir den exakten

Newton-Schritt durchführen würden, das ist das, was hier steht. Und im zweiten haben wir einen

Anteil, der beinhaltet den alten Fehler, den Kartenfehler, beinhaltet die Konditionszahl der

Jacobi-Matrix, das könnte eventuell problematisch sein bei schlecht konditionierten Problemen. Und

es beinhaltet einen Steuerparameter eta k, der gerade kontrolliert, wie gut das Residuum ist,

oder wie klein das Residuum ist in diesem Sinne, dass wir erfüllen wollen, dass das Residuum in der

Norm sich abschätzen lässt, wie dieses eta k mal Norm von f von x k. Was hier steht, kann interpretiert