Hallo, wir machen jetzt weiter mit den Präsenzaufgaben von Plan 6.

Wir beginnen damit, dass wir uns Aufgabe 15 anschauen und in dieser Aufgabe geht es um

die Funktion f auf 0,1 nach R definiert durch f von x gleich x mal e hoch x minus x minus

ein halb. Das zu zeigen ist, die Funktion f hat genau eine Nullstelle, also in Klammern auf dem Intervall 0,1.

Die Beweiseidee ist bei dieser Aufgabe eigentlich immer die folgende. Erstens,

zeige Existenz mindestens eine Nullstelle und zwar mit dem Nullstellen Satz und

zweitens, zeige Monotonie, also höchstens eine Nullstelle. Wie machen wir das jetzt? Wenn wir

zeigen wollen, dass die Funktion auf dem Intervall genau eine Nullstelle, also mindestens eine Nullstelle haben

sollen, müssen wir die Intervallgrenzen einsetzen. f von 0 ist 0 minus 0 minus ein halb ist

gleich minus ein halb und das berechte Grenze ist f von 1, das ist 1 mal e hoch 1 minus 1 minus

ein halb und das ist e minus drei halbe und wir wissen e ist ungefähr 2,7 oder so, das heißt,

dass da minus 1,5 ist auf jeden Fall größer als 0. Das hier ist kleiner als 0, also sind die

Voraussetzungen des Nullstellen Satzes jetzt schon gegeben, wenn wir uns noch überlegen, dass die Funktion stetig ist

und f ist stetig als Komposition stetiger Funktionen. Also wir müssen uns eigentlich nie Gedanken machen

bei irgendwelchen Produkten und Summen und Differenzen von Funktionen, bei Quotienten müssen wir ein

bisschen vorsichtig sein, dass wir nicht eine Nullstelle in Quotienten erzeugen und sonst ist alles auch

ganz klar. Das hier ist eine ganz klare stetige Funktion, das heißt nach dem Nullstellen Satz

existiert mindestens eine Nullstelle extern in 0,1 im Inneren dieses Intervalls und es ist nicht einfach

sich zu überlegen, welches es ist, also diese Gleichung hier, die ist nicht einfach nach 0 aufzulösen,

da gibt es keine geschlossene Form dafür, das heißt, wir brauchen tatsächlich ein reines Existenzresultat

wie den Nullstellen Satz und mehr können wir nicht machen. Dann geht es weiter mit der Monotonie,

f von x ist x mal e hoch x minus x minus ein halb, ja also x mal e hoch x ist monoton steigend und

minus x ist monoton fallend und jetzt sehen wir, das bringt uns nichts, weil eine Summe von einer monoton

steigenden oder monoton fallenden Funktion, damit können wir jetzt eigentlich nichts anfangen.

Dieses minus ein halb können wir völlig ignorieren, das ist eine Konstante, das heißt, okay so kommen

wir jetzt nicht weiter, wir müssen also den Term ein bisschen umformen, so dass wir klarer sehen

können, dass es eine monoton steigende Funktion ist oder eine monoton fallende Funktion. In dem Fall muss es

eine monoton steigende Funktion sein, weil f von dem linken Rand negativ ist und f vom rechten Rand

positiv ist. Wie zeigen wir also, dass es eine monoton steigende Funktion ist, ist der Trick hier,

also das hier bringt nichts und der Trick ist jetzt hier, dass man das umschreibt, f von x ist

gleich x mal e hoch x minus eins, minus ein halb und jetzt ist x eine monoton steigende Funktion und e hoch x

minus eins ist auch eine monoton steigende Funktion und beide sind größer gleich null auf dem

Gebiet, dem wir uns jetzt anschauen, nämlich null eins. x minus eins ist sozusagen gerade noch größer

gleich null, also bei x gleich null haben wir jetzt hier e hoch null minus eins, also eins minus eins

gleich null, das heißt gerade noch so funktioniert das und jetzt haben wir also ein Produkt von

positiven monoton steigenden Funktionen, sogar echt oder strikt, beide sind strikt monoton steigende

Funktionen und das daraus folgt, dass f ebenfalls strikt monoton steigend ist. Daraus folgt höchstens

eine Nullstelle, wenn wir einmal das Niveau von null überschreiten, dann kommen wir nicht wieder

zurück und damit kann es nur eine Nullstelle geben. Jetzt habe ich einfach benutzt, dass es

Produkt von positiven und echt monoton steigenden Funktionen wieder monoton ist, streng genommen

ist es was, was wir jetzt erst in Hausaufgaben sehen werden, also hier in Hausaufgabe H16 bitte

ich sie dann das zu zeigen, das kann man dann elementar nachprüfen und damit kann man das dann hier folgen.

Okay, das war die Aufgabe P15, dann machen wir weiter mit Aufgabe P16, in dieser Aufgabe geht es

darum ganz viele Grenzwerte auszurechnen, das haben wir eigentlich im ersten Teil der Vorlesung schon sehr oft gemacht,

aber jetzt geht es darum diese neuen Grenzwertformeln auszutesten, die wir in der Vorlesung gesehen haben.

Dabei gibt es ein paar Tricks und diese Tricks, die wollen wir uns anschauen. Der erste Grenzwert

ich nur rede jetzt einfach mit Buchstaben durch, dann sieht man besser die Struktur. Grenzwert von n gegen unendlich von 1

minus x durch n hoch n, da sehen wir, dass das gleiche wie der Grenzwert von n gegen unendlich von 1 plus

jetzt hier minus x geklammert, minus x durch n hoch n, das hat jetzt genau die Form e hoch minus x,

weil der Grenzwert von n gegen unendlich von 1 plus y durch n hoch n ist gleich g hoch y, das heißt wenn wir jetzt hier y gleich