Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Dann wünsche ich Ihnen einen schönen guten Morgen. Wir wollen hier noch in dieser Vorlesung

weitermachen mit diesem kurzen Exkurs zu gewöhnlichen Differentialgleichungen. In

der letzten Vorlesung hatten wir im Wesentlichen ja nur Notationen gemacht und uns zumindest ein

paar einfache Beispiele angeschaut. Jetzt zum Anfang dieser Vorlesung möchte ich Ihnen nur ganz kurz

etwas zur geometrischen Interpretation von gewöhnlichen Differentialgleichungen erzählen.

So eine anschauliche Vorstellung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,

das geht dann natürlich nur für Probleme, bei denen die Ordnung oder bei einem System

die Anzahl der Komponentenfunktionen eben klein ist. Ansonsten verlieren wir natürlich unsere

Anschauung. Der erste Fall ist dann der Fall für skalare gewöhnliche Differentialgleichungen in

erster Ordnung in expliziter Form. Das heißt, wir betrachten ja hier ein Problem U' entspricht

so einer Strukturfunktion F, die hängt von der Variablen T ab und von der Funktion U,

wobei F eben so eine Funktion von dem Definitionsbereich D als Teilmenge des

R2 nach R abbildet. Und hierunter versteht man diese Funktion F als Steigungsfeld,

durch das zu jedem Punkt T, x aus D aus dem zweidimensionalen Definitionsbereich eben diese

Steigung F von T, x gegeben ist. Wenn man hier das mal kurz in einer Skizze machen möchte,

dann haben wir hier den R2 meinetwegen als D. Hier in die Richtung tragen wir diese Variable T an

und in die andere Richtung die Variable x. Und dann hat jetzt zum Beispiel diese Funktion F von

T und x, die nimmt jetzt eben für solche Tupel aus dem R2 einen gewissen Wert an und wir verstehen

das eben als die Steigung an diesem Punkt. Zum Beispiel, wenn wir uns das Problem anschauen,

U' ist konstant 1, dann meinen wir damit eben, dass diese Funktion F eben auf R2 einfach immer

konstant 1 ist und das bedeutet, dass wir an jedem Punkt aus R2 uns vorstellen, dass wir eine,

ja, gerade oder einen Teil einer Gerade mit Steigung 1 haben. Das kann man dann sich so skizzieren.

Und die Lösungen dieser Gleichung, die müssen dann in diesen Punkten, müssen diese Lösungen

dann natürlich eine Steigung, diese vorgegebene Steigung haben und wir wissen ja hier, dass die

Lösungen U, T genau von der Form T plus C sind und das sind dann also einfach diese Kurven,

die hier eben so durchlaufen, diese Geraden und deren Steigung hier, die stimmt dann immer genau

mit der Steigung F von T U überein. Die Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung sind dann

genau die differenzierbaren Funktionen, die von einem Intervall I nach R abbilden und für die

die Ableitung von U an der Stelle T oder zum Zeitpunkt T stets mit der vorgegebenen

Steigung F von T übereinstimmt, also am Punkt T U, T aus D übereinstimmt.

Wenn man also so ein Problem erster Ordnung, ein Skalatorsproblem erster Ordnung gegeben hat,

kann man sich diese Strukturfunktion in dieser Form skizzieren in R2 und die Lösungen,

die man dann eben daraus bekommt, das müssen dann solche Funktionen sein, die an solchen

Punkten genau diese Steigung annehmen, die diese Strukturfunktion eben dann hier einfach hergibt.

In R2 kann man sich jetzt auch noch ein anderes Problem grafisch darstellen und zwar einfach

Systeme mit zwei Komponentenfunktionen, die dann aber autonom sein sollen,

eine geometrische Veranschaulichung ist auch im Fall autonomer Systeme erster Ordnung möglich,

also für R2 wertiges U. Was sind das noch mal für gewöhnliche Differenzialgleichungen?

Das heißt also, für gewöhnliche Differenzialgleichungen von der Form U

strich stimmt überein mit einer Funktion f von U, wobei, phi von U, wobei die Funktion phi von D jetzt

in den R2 abbildet und so eine Skizze hierzu kann man sich vielleicht so vorstellen. Auf diesem Kreis,

also dieses phi ist jetzt ein Vektorfeld, auf diesem Kreis sollen zum Beispiel ja diese Vektoren so

gegeben sein. In diesem Beispiel wäre das für die Abbildung phi von X, die gegeben ist durch X2,

minus X1 und das entspricht dann dem Problem erster Ordnung U1 strich ist U2 und U2 strich ist minus U1

und die Situation ist hier ähnlich wie zuvor, nicht komplett das gleiche, aber ähnlich. Lösungen

zu so einem Problem, die müssen dann in diesen Punkten zumindest in die gleiche Richtung gehen,

wie diese Pfeile. Also eine Lösung wäre jetzt hier dann, also man sieht dann eben nur das Bild

von so einer Funktion, das wäre hier zum Beispiel der Kreis und man sieht, wenn wir uns eine Kurve

hier drin überlegen, die eben diesen Kreis parametrisiert, dann ist für jeden Punkt auf