Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Fangen wir an. Was heute auf dem Programm steht, ist das sogenannte vorkonditionierte

CG-Verfahren und darauf aufbauend dann oder auf das CG-Verfahren aufbauend dann

analoge Verfahren für nicht symmetrische Matrizen, wo man dann allgemeiner von

Krüloff Unterraummethoden spricht. Ich fasse nochmal kurz zusammen, was die wesentlichen

Charakteristika des CG-Verfahrens sind. Es ist also ein Verfahren, was für symmetrische

selbstadjungierte Matrizen, was auf das äquivalente quadratische Minimierungsproblem abzielt,

was ein Abstiegsverfahren ist und wo wir die Abstiegsrichtungen als konjugierte Richtungen

suchen, was bedeutet sie sollen orthogonal oder orthonormal nicht bezüglich des eukledischen

Skalarprodukt, sondern bezüglich des von der Matrix A erzeugten Energieskalarprodukt

sein. Das ist also diese Forderung hier, die wir an die Suchrichtungen stellen und das

erste was man feststellen kann ist, wenn dem so ist, und so ist das Verfahren in 50er Jahren

historisch entstanden bei Hastiness und Stiefel, das war im Wesentlichen eine Parallelentwicklung,

dann hat man ein Verfahren, was in exakter Numerik nach m vielen, m ist halt unsere Dimension

des Problems, m vielen Schritten die exakte Lösung liefert. Also ursprünglich ist das

mal als exaktes, als direktes Verfahren entwickelt worden. Wenn man jetzt an sehr große Gleichungssystemen

denkt mit 10 hoch 6 Unbekannten, ist es vielleicht gar nicht so interessant zu wissen, dass nach

10 hoch 6 Iterationsschritten in einer exakten Arithmetik die Lösung erreicht ist. Also möchte

das Verfahren viel mehr als Iterationsverfahren verstehen, was aber dann bedeuten muss, dass

sozusagen jeder Zwischenschritt, jede Iterierte eine gewisse Interpretation als Näherung an

die Lösung hat, wobei sich der Abroximationsfehler noch quantifizieren lässt. Und das ist tatsächlich

der Fall. Und die wesentliche Rolle spielt da eben der sogenannte Krülofunterraum. Der

Krülofunterraum, je nachdem wie man sieht, entweder man sagt KK ist der Krülofunterraum

oder X0 plus KK, also entweder dieser Linearraum oder der Affine Raum, mit dem wir dann hier

arbeiten. Also erstmal was ist nochmal KK zu einer Matrix A und einem Startvektor G0?

Das ist in unserer ursprünglichen Definition ist das einfach der Spann der ersten K konjugierten

Suchrichtungen. Das heißt also das ist ein aufsteigender Raum, der eben zumindest so lange

sichergestellt ist, dass diese Vektoren alle linear unabhängig sind und das sind sie ja,

weil sie konjugiert sind, also orthogonal bezüglich eines Skalarprodukts haben wir also hier eine

aufsteigende Folge von Räumen, die solange wir die Konjugiertheitsbedingungen nicht verlieren,

auch nicht verlieren, dass wir hier eine Basis haben aus K Elementen, sodass wir immer größere

Räume aufspannen. Und dieser Raum bzw. der zugehörige Affine Raum X0 plus KK, das ist

tatsächlich der Raum, auf dem die Karte iterierte den Abstand in der A-Norm zur gesuchten Lösung

des Gleichungssystems minimiert. Wir hatten ja gesehen, dieses quadratische Funktional,

was wir minimieren, das können wir auf verschiedenste Art und Weise hinschreiben und wenn wir sozusagen

Dinge in Normen hinschreiben, dann haben wir da auch und wenn wir also sagen die Norm kann etwas

Allgemeineres sein als eine euklidische Norm, sondern eben eine Norm, die von einem gewichteten

Skalarprodukt herkommt, das heißt von einer beliebigen, im Prinzip beliebigen symmetrischt

posig definierten Matrix, dann haben wir da viel Spielraum, dann kann man durch Wahl der Norm aus

einem Defekt, aus einem Residuum einen Fehler machen und vice versa. Und deswegen haben wir gesehen,

wenn wir jetzt eben die Situation in der A-Norm betrachten ist das, was wir tatsächlich machen, on

dem Gesamtraum durch das Minimieren des quadratischen Funktionals, wir minimieren den

Fehler zwischen den den Abstand zu X und klar die optimale Lösung ist die Lösung selbst und dann

ist der Fehler 0 auf den gesamten Raum. Wenn wir das jetzt nur auf einem Teilraum machen, dann

Dann bekommen wir im Allgemeinen einen positiven Fehler, aber wir können damit eben auch interpretieren, was das ist und können erwarten, wenn diese Teilräume, wie eine Folge aufsteigender Räume sind, dass wir sozusagen immer besser werden und dass eben jede Intervierte schon für sich eine Abproximation einer gewissen Güte ist.

Und das ist jetzt hier tatsächlich der Fall, in dem Sinne, was wir hier machen, indem wir mit dieser Definition starten,

wir minimieren jetzt den Fehler auf diesem affinen Raum der Dimension K.

Was wir wissen, okay, jetzt fehlen noch ein paar Formeln, hier sind die.

Das sind jetzt die nächsten wichtigen Formeln für den Krülow-Unterraum.

Wir haben so eine Art Definition gewählt, die eben jetzt praktisch war, um unsere Herleitungen zu machen,