Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Grüß Gott zusammen. Wir wollen jetzt anfangen uns mit verschiedenen Matrixfunktionen zu beschäftigen.

Ihr Verhalten sind wesentlich in zwei. Das eine ist die, was wir im Prinzip schon sehr genau kennen, das ist einfach die Matrixpotenz.

Das heißt, dass wir wollen uns anschauen, was passiert mit einer Folge von Matrizen A hoch N

für eine quadratische Matrix A, für n gegen unendlich.

Jetzt kann man das natürlich untersuchen, indem man eben alle diese Folgentiere ausrechnet

und dann schaut, was da eventuell passiert, oder vielleicht geht das aber auch anders.

Das zweite ist dann der nächste Schritt, wenn wir die Matrixpotenz haben,

also sozusagen das Monom angewendet auf einem Matrix,

In einem Matrix haben wir auch das Matrix-Polynomen und der nächste Schritt wäre sozusagen die Matrix-Reihe

und die berühmteste Reihe ist ja die Reihe der Exponentialfunktion.

Das heißt also eine wesentliche Konstruktion, die wir uns dann anschauen, ist dann das Matrix-Exponential.

Das heißt, was kann man darunter verstehen, die Exponentialfunktion auf eine Matrix anzuwenden.

Das ist jetzt nicht la-po-la, sondern hat viele, viele Anwendungshintergründe.

Wo tauchen die Matrixpotenzen auf? Wenn ich die Matrixpotenz untersuchen kann,

das heißt also, dass Langzeitverhalten von A hoch N für N gegen unendlich untersuchen kann,

dann kann ich insbesondere untersuchen das Verhalten einer Folge,

sagen wir mal, ich gebe einen Vektor x 0 aus dem Rn vor

und ich definiere eine Folge von Vektoren rekursiv dadurch,

dass ich immer eine Matrix A auf den Vektor anwende.

Das ist ja offensichtlich, diese kann ich in Anführungszeichen lösen

und dann habe ich offensichtlich, dass die Folge einfach die N-te Potenz,

muss ich mal schauen, dass schon die N-te Potenz angewendet auf diesen Startvektor ist.

Gut, solche Gleichungen, oder wie sie hier stehen,

die nennt man auch Differenzen Lineare, also Linear ist glaube ich klar,

warum die Linear heißen, die nennt man auch Lineare Differenzen Gleichungen.

Erste Ordnung, da kann man vielleicht an höhere Ordnung denken,

wieso Differenzen Gleichungen, da ist ja gar keine Differenz,

wenn keine da ist, schreibt man halt eine hin, man könnte zum Beispiel sagen,

na gut, das was da steht, das ist ja eine Differenz,

da muss ich halt die Gleichung nur auf beiden Seiten korrigieren,

das heißt ich habe hier sowas A wie die A-1 mal Xn, das heißt mein A ändert sich nur,

verschiebt sich nur, dann wäre das eine Differenzen Gleichung.

Nehmen wir das jetzt hier mal A-Schlange, wo könnte ich mir vorstellen, dass das herkommt?

Ja, das könnte wiederum herkommen, indem ich mir eine gewöhnliche Differenzalgleichung anschaue,

ein System gewöhnlicher Differenzalgleichungen anschaue,

wie hatten wir das geschrieben, sowas wie Y Strich von T gleich A von Y von T.

Da haben wir uns zwar schon Gedanken gemacht, wie man das löst,

und das werden wir später auch nochmal oder sehr bald auch nochmal eben vom Standpunkt des Matrix-Exponentials wiederholen,

aber wir haben schon gesehen, das kann durchaus kompliziert werden,

und so ohne weiteres fahren ja nun auch die Eigenwerte und die Hauptvektorbasen und all das auch nicht vom Himmel.

Das heißt also vielleicht kann man das auch anders machen, jetzt könnte man sagen,

nun gut, was ich eigentlich nur lösen kann sind linare Gleichungssysteme,

also versuche ich das abroximativ auf linare Gleichungssysteme zurückzuführen,

das heißt ich mache eine Diskretisierung in der Zeit.

Nehmen wir hier nochmal unseren Anfangswert dazu, ich nehme jetzt mal, um die Notation zu vereinfachen,

den Anfangszeitpunkt bei Null, Diskretisierung in der Zeit. Was heißt das?

Die einzige Ableitung, die ich im Problem habe, den Differentialquotient, den ersetze ich durch einen Differenzenquotient.

Das ist im Allgemeinen nicht exakt, das wäre nur exakt, wenn die Funktion eben linear in der Zeit wäre,

aber abroximativ, wenn meine Schrittweite klein genug ist, kann ich das ja vielleicht mal machen.