Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, wir haben ja jetzt schon viel über Funktionen von mehreren Variablen erfahren,

also wir wissen, wie man sie differenzieren kann. Jetzt betrachten wir Optimierungsprobleme mit

Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen. Oft haben sie ja einige Variablen, wo sie

entscheiden können, wie sie die einstellen. Und wenn man ein Optimierungsproblem hat,

will man ja die Einstellungen finden, die am besten sind, im Sinne, dass eine Zielfunktion

minimiert wird. Und hier können wir jetzt auch die Gradienten verwenden, die wir kennengelernt

haben, also die Vektoren mit den partiellen Ableitungen, um stationäre Punkte zu bestimmen.

Und hier gibt es auch noch hinreichende Optimalitätsbedingungen, die mit den zweiten

Ableitungen, also mit den Hessischen Matrizen funktionieren. Also diese Optimierungsaufgaben

können wir jetzt behandeln mit Kriterien, die auf diesen Ableitungskonstruktionen für Funktionen

mehrerer veränderlicher aufbauen. Dazu noch mal eine Wiederholung. Was ist eine Optimierungsaufgabe?

In unserem Kurs kamen ja auch schon Optimierungsaufgaben vor, denn sie kennen ja schon die kleinste

Quadrateprobleme. Also die Probleme, wo sie Parameter schätzen, kennen bereits das kleinste

Quadrateproblem. Und das war ja so, da hatten wir eine Liste von Messdaten gegeben, ein Vektor

von Messwerten und ein parameterabhängiges Modell. Und gesucht waren dann die Parameter,

die am besten zu den Messdaten passen, in dem Sinne, dass der Fehler minimiert wird,

also die Differenzen zwischen den Messdaten und dem Modelldaten mit den eingestellten Parametern.

Gegeben also eine Liste von Messdaten und ein mathematisches Modell.

Und gesucht

sind Modellparameter

x Element r hoch n, sodass der Fehler, also der Abstand zwischen den Messdaten und den Modelldaten,

der Fehler zwischen Modellwerten,

Messdaten,

möglichst klein wird. Und sie kennen es ja, sie messen nicht nur einmal, sondern vielleicht

hundertmal, dann haben sie hundert Messdaten und dazu gehören auch hundert Modellwerte. Und um da

einen Abstand zu bestimmen, bildet man die Differenzen, quadriert die und summiert die

auf und diese Quadratsumme wird dann minimiert, deshalb heißt es ja auch kleinste Quadratprobleme.

Dieses Problem hat die Form

minimiere über alle x aus dem r hoch n, a mal x minus b, das ist dieser Fehler und davon wird die

quadrierte Norm, die Summe der Quadrate, gebildet und das ist unsere Zielfunktion. Also das kann

man schreiben als minimiere über x im r hoch n, wir haben ja einen Vektor von der Zielfunktion f von x mit

f von x ist gerade diese Norm von a x minus b zum Quadrat. Erinnern sich, das war ja ein

Abschnitt in dem Kapitel über lineare Algebra, wenn Sie das lineare Gleichungssystem a x gleich b

exakt lösen können, dann ist ja der Fehler Null und dann ist das auch das Minimum, die exakte

Lösung, aber oft haben sie eben Datenmesswerte, die nicht ganz konsistent sind mit dem Modell und

dann tritt eben ein Fehler auf, der nicht Null ist. Eigentlich auch so sein, das kennen Sie

wahrscheinlich von Ihren Praktika, dass da Fehler auftreten, sonst merkt jeder sofort, das sind keine

echten Messwerte. Also hier wird diese Zielfunktion minimiert und wir hatten in der linearen Algebra

eine Lösungsmethode gesehen, die mit den Normalgleichungen funktionierte, aber wir können

hier auch mit dem Gradienten arbeiten, das sehen wir später, dann erhalten wir natürlich die

gleichen Lösungen. Also das ist ein Problem, das Sie schon kennen, in den Anwendungen gibt es auch

sehr viele Optimierungsprobleme, Beispielprobleme der optimalen Steuerung, also früher gab es immer

das Problem, eine Rakete zum Mond zu schießen, aber auch wenn man einen Motor steuert, ist das ein

optimales Steuerungsproblem, wenn man Turbine oder Kraftwerke steuert und im Sinne des Operations

Research, das ist ja besonders für die Wirtschaftsingenieure interessant, gibt es natürlich

auch das Problem Unternehmen optimal zu steuern, in dem Sinne von Produktionsplänen und so weiter,

welche Personalplanung man dann macht. Es gibt auch Probleme aus der Anwendung der optimalen Steuerung,

Beispiel von Turbinen, Motoren, Kraftwerken, aber auch von Unternehmen, also Firmen,

Konzerne, Krankenhäuser sein, also man muss ja immer einen Plan machen, wo man da das Geld