Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben in der letzten Vorlesung über die homogene Differentialgleichung gesprochen.

x' von t ist gleich a mal x von t. Dabei ist a eine quadratische Matrix. Das ist jetzt ja als

eine Differentialgleichung geschrieben, aber x ist ein Vektor und x' dann auch. Das sind also

N gekoppelte Differentialgleichungen, ein lineares System aus N Differentialgleichungen.

Diese Matrix A hat ja einen Eigenwert. Lambda 1 sei ein Eigenwert und V1 der dazugehörige

Eigenvektor. Dann kann man direkt eine Lösung dieser Differentialgleichung hinschreiben.

Das ist x1 von t gleich e hoch Lambda 1 mal t mal V1. Das ist dann eine Lösung der

Differentialgleichung. Aus den Eigenwerten und Eigenvektoren gewinnt man also Lösungen.

In diesen Lösungen taucht die Exponentialfunktion auf. Das ist hier die Exponentialfunktion,

die Sie schon lange kennen. Die ist ja durch die Exponentialreihe definiert. Wir würden natürlich

gerne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung hinschreiben. Das funktioniert,

wenn wir die Exponentialfunktion verallgemeinern. Das machen wir, indem wir in diese Exponentialreihe

die Matrix A einsetzen. Das liefert uns die Matrix-Exponentialfunktion. Das ist also ein

anderer Ansatz. Wir definieren die Matrix-Exponentialfunktion. Die schreibt man als

e hoch a t. Im Exponenten kann man das schreiben. Sie wissen ja, ich schreibe auch ganz gern

Exp. Dann kommt das Argument a mal t oder t mal a in Klammern dahinter. Das ist definiert

als die Summe von j gleich 0 bis unendlich. Eine unendliche Reihe von t hoch j durch j

Fakultät multipliziert mit a hoch j. Die reelle Exponentialfunktion ist ja als Potenzreihe

definiert. Da tauchen die Potenzen von t auf t hoch j. Hier bei der Matrix-Exponentialfunktion

tauchen auch die Potenzen der Matrix A auf. Also a², a hoch 3, a hoch 4 und so weiter.

Diese unendliche Reihe ist dann natürlich auch als Grenzwert definiert, als Grenzwert

der Folge der Partialsummen. So gesehen ist es kompliziert, aber das Gute ist, man kann

die Lösungen damit sehr einfach darstellen. Diese Exp. e hoch a t, die Matrix-Exponentialfunktion

ist ja jetzt eine n Kreuz n Matrix. Die kann man mit einem Vektor multiplizieren. Wenn

man das macht, dann bekommt man eine Lösung dieser homogenen Differentialgleichung. Also

x von t ist dann gleich e hoch a t multipliziert mit einem Vektor x0. Wenn Sie t gleich 0 in

die Exp. Funktion einsetzen, bekommen Sie im skalaren Fall eins. Bei der Matrix-Exp.

Funktion ist das an der Stelle t gleich 0 die Einheitsmatrix. Das heißt x von 0 ist

dann x0. Dieses x0, der Vektor, der hier hinter steht, der ist gleichzeitig auch der Anfangswert

der Lösung an der Stelle t gleich 0. Damit kann man also beliebige Anfangswertprobleme

mit dieser homogenen Differentialgleichung lösen. Also x von t gleich e hoch a t mal

x0 löst das Anfangswertproblem. x Strich ist gleich a mal x und x an der Stelle 0 ist

gleich x0. Dazu müssen Sie den Wert der Matrix-Exp. Funktion an der Stelle 0 kennen. Also x an

der Stelle 0 ist nach Definition e hoch 0 mal a mal x0 und e hoch 0 mal a ist die Einheitsmatrix.

Hier haben wir also zwei Ansätze und die Frage ist, was haben die miteinander zu tun? Sie

können ja auch diese Matrix-Exp. Funktion mit unserem Eigenvektor V1 multiplizieren.

Was kommt denn da raus? Also wenn man e hoch a t mit V1, mit dem Vektor V1, dem Eigenvektor

zum Eigenwert lambda 1 multipliziert, dann erhält man Folgendes. Wir lösen das nach

der Definition auf und erhalten diese Reihe von j gleich 0 bis unendlich t hoch j durch

j Fakultät mal a hoch j. Das ist ja unsere Matrix-Exp. Funktion und das wird jetzt mit

diesem Eigenvektor V1 multipliziert. V1 ist ja ein Eigenvektor, also a mal V1 ist gleich

lambda 1 mal V1. Das können wir also gut ausrechnen und a Quadrat mal V1 ist dann lambda 1 Quadrat

V1 und so geht es weiter. Also wenn sie a hoch j mal V1 haben, ist das lambda hoch j mal

V1. Das gilt auch für j gleich 0. Sie können hier das also gut ausrechnen. Das ist die

Summe von j gleich 0 bis unendlich t hoch j durch j Fakultät mal lambda 1 hoch j mal

dieser Vektor V1. Der Vektor V1 ist hier also konstant. Das heißt, wir können den ausklammern

aus der Reihe. Das machen wir mal. Wir klammern diese Reihe aus. Das ist jetzt ja eine Zahl.

Das ist nämlich genau wieder eine skalare Exponentialreihe. Das ist ja t mal lambda

1 hoch j. Also das ist genau e hoch lambda 1 mal t multipliziert mit V1. Das ist also