Musik

Und irgendwann, wenn ich die Energiedifferenz noch kleiner mache,

dann stimmt meine Voraussetzung für das Bild nicht mehr, dass gk viel kleiner als delta e k wäre

und dann kann es sich ein bisschen ändern, aber qualitativ sieht es immer so aus.

Musik

Und das heißt, wir könnten eine Vermutung haben, was passiert,

vorausgesetzt, wir können das näherungsweise so behandeln, als hätten wir viele unabhängige

zwei Niveausysteme, was nicht ganz klar ist von vornherein, dann würden die alle dermaßen

oscillieren, manche schneller, manche langsamer, manche mit kleinerer Amplitude und manche mit

größerer Amplitude. Und die Wahrscheinlichkeit, die wir suchen, nämlich die Wahrscheinlichkeit,

in irgendeinem der Endzustände zu sein, wäre die Summe über all diese Oszillationen. Und die

Hoffnung wäre, dass die Summe über viele solche Oszillationen eine Kurve ergibt, wie diese hier.

Das ist jetzt nicht von vornherein klar, aber das werden wir uns anschauen.

Also was ist diese Wahrscheinlichkeit zerfallen zu sein? Mit anderen Worten,

die Wahrscheinlichkeit in irgendeinem dieser Endzustände zu sein.

Und die Frage wäre, ist das in irgendeiner Näherung zumindest, vielleicht für kleine

Zeiten oder so, linear in der Zeit? Okay, und an der Stelle möchte ich nicht mehr einfach nur

an das Zwei-Niveau-System appellieren, weil wir wissen ja nicht, sind das wirklich verschiedene

unabhängige Zwei-Niveau-Systeme, das erscheint etwas suspekt, sondern wir werden einfach

Störungsrechnung machen. Wir werden versuchen, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen,

zumindest für kleine Zeiten, unter der Annahme, dass diese Störung nicht allzu groß ist. Okay.

Das heißt, ich schreibe mir den Zustand hin. Der Zustand kann zerlegt werden in eine Komponente

mit dem Anfangszustand und all die verschiedenen möglichen Endzustände. Und sagen wir,

die Amplitude für den Anfangszustand nenne ich einfach C von T und die anderen Amplituden

nenne ich CK von T. Und dann werde ich erstmal die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung hinschreiben,

und zwar für diese CKs. Das heißt, ih quer mal die Zeitableitung vom CK ist gleich was.

Nun, auf der rechten Seite steht der Hamilton-Operator, angewendet auf meinen Zustandsvektor,

und davon dann die Komponente K genommen. Der erste Beitrag ist einfach, nämlich selbst ohne

Störung oszilliert ja die Amplitude mit der Energie EK. Das ist der Beitrag aus dem H0.

Und dann gibt es aber einen anderen Beitrag, der mir sagt, falls eine Amplitude im Anfangszustand

vorhanden ist, dann wird durch diese Kopplung GK am Ende eine Amplitude im CK entstehen. Also

hier steht GK mal C. Und entsprechend könnte man eine Gleichung für C hinschreiben. Oder

wir können auch diese Gleichung hinschreiben. ih quer C Punkt ist gleich, das oszilliert

mit der Energie E des Anfangszustandes und ist auch gekoppelt an CK. Und hier habe ich

mal angenommen, GK ist real. Ansonsten habe ich hier ein Komplex-Konjugierzeichen bei

irgendeinem der beiden. Was wir jetzt machen wollen, ist tatsächlich Störungsrechnung

in dem folgenden Sinne. Wir wollen die Lösung für C einsetzen in die erste Gleichung, damit

wir dann die erste Gleichung formal lösen können und sagen können, CK von T ist gleich

irgendwas, was proportional zu GK ist. Und dann quadrieren wir das und bekommen die führende

Ordnung in der Wahrscheinlichkeit, die wir aufsummieren wollen. Das Problem ist natürlich,

dass C selber wieder von CK abhängt und eigentlich hätten wir dann ein Selbstkonsistenzproblem.

Aber wenn wir alles nur bis zur führenden Ordnung in GK machen wollen, dann kann ich

hier in dieser zweiten Gleichung den Einfluss der Störung vernachlässigen. Das ist die Idee.

Ich tue so, als ob zumindest für die ersten Zeitpunkte in meiner Entwicklung C sich freie

Zeit entwickelt. Also C von T wäre dann ungefähr einfach nur eins, das ist die Anfangsamplitude

E mal E hoch minus I durch H quer E mal T. Das ist die nullte Ordnung. Da habe ich noch

nicht berücksichtigt, dass die Amplitude und auch die Wahrscheinlichkeit des Anfangszustandes

zerfällt. Sie ist ungefähr noch gleich eins. Und das bedeutet dann, wenn ich diese Näherung

hernehme, kann ich sofort die erste Gleichung für CK lösen. Weil, welche Gestalt hat diese

Gleichung? Ohne GK mal C wäre es eine homogene Gleichung für CK und die Lösung wäre genauso