Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also da muss man irgendwie rumrechnen. Also wie wird man das machen?

Da wird man schreiben Z1 gleich E hoch X plus Y und Z2 gleich E hoch X minus Y.

Also da muss man irgendwie immer Buchstaben finden. Eben hatten wir R phi und X, Y.

Hier wird R phi nicht passen, weil ja kein Radius im Spiel ist.

Also würde man sowas wie Z1 und Z2 nehmen. Die sind jetzt nicht komplex, sondern einfach nur Buchstaben.

Also Z1 ist ja dann E hoch X mal E hoch Y und Z2, die zweite Komponente ist E hoch X mal E hoch minus Y.

Und was ist jetzt die Aufgabe? Die Aufgabe ist daraus X und Y auszurechnen.

Und ja da sehen Sie schon vielleicht was man machen muss.

Also wir multiplizieren die einfach mal. Z1 mal Z2 ist ja was? E hoch X mal E hoch X mal E hoch Y mal E hoch minus Y.

Also E hoch 2X.

Und jetzt wird man da den Logarithmus ins Spiel bringen.

Und dazu muss man auch beachten, die sind natürlich immer größer 0, weil es ja Exponentialwerte sind.

Also Werte im Bild der Exponentialfunktion.

Dann hat man Logarithmus von Z1 mal Z2.

Das ist 2X.

Und ja Sie kennen ja auch die Rechenregeln für den Logarithmus.

Das ist Logarithmus Z1 plus Logarithmus Z2.

Jetzt hat man das X und jetzt kann man natürlich genauso gut teilen.

Also Z1 geteilt durch Z2 ist dann E hoch X mal E hoch Y durch E hoch X mal E hoch minus Y.

Dann kürzt sich das E hoch X raus und dann hat man hier E hoch Y mal E hoch Y.

Also E hoch 2Y.

Dann kann man wieder logarithmieren.

Und hier bekommt man den Logarithmus des Quotienten.

Und der ist dann 2Y.

Also Logarithmus Z1 minus Logarithmus Z2.

Ja und jetzt können Sie das Ganze noch einhalbieren durch zwei Teile.

Also versuchen wir nochmal hier das 4 hoch minus 1 hinzuschreiben.

Und da kommt tatsächlich etwas raus.

Also 4 hoch minus 1 an der Stelle.

Z1 Z2.

Also da sollte dann das X und das Y wieder rauskommen.

Und das X ist ja ein halb Mal Logarithmus von Z1 plus Logarithmus von Z2.

Und das Y ist halb Mal die Hälfte von Logarithmus Z1 minus Logarithmus von Z2.

Und ja falls hier das stimmt, dann ist das die inverse Abbildung.

Aber das können Sie ruhig nachrechnen und wenn es nicht stimmt, dann sagen Sie mir Bescheid.

Aber das hat jetzt nicht so sehr viel mit dem Satz zu tun.

Der Satz ist ja ein viel schwächeres Ergebnis.

Der sagt ja lokal kann man das irgendwie invertieren, aber da könnten ja trotzdem wieder und wieder dieselben Bilder auftauchen.

Also es könnte ja das X0, also die Umgebung von dem X0 auf das V gehen.

Und dann nehmen Sie hier einen anderen Punkt mit einer Umgebung und die wird auch auf das V abgebildet.

Also das ist gar nicht ausgeschlossen.

Hier ist ja nicht die Rede von globaler Invertierbarkeit.

Und hier haben wir ja viel mehr, hier haben wir ja so eine globale Inverse, die alle Argumente miteinander verbindet.

Also da muss man dann doch wieder rechnen.

Aber der Satz der sagt da muss irgendwas rauskommen.

Mindest lokal.

Und ja bei den einfachen Fällen, die so praktisch relevant sind, da kann man das oft global invertieren.

Aber sobald da irgendwie ein Sinus oder so etwas ins Spiel kommt, geht das natürlich nicht mehr.

Also da sieht man den Unterschied zwischen der Theorie und der Praxis.