Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung mit dem Verfahren des Potenzreinansatzes begonnen.

Man nimmt an, die Lösung ist als Potenzreihe darstellbar und setzt dann diese Potenzreihe

in die Differentialgleichung ein.

Mit einem Koeffizientenvergleich bekommt man dann Gleichungen für die Koeffizienten.

So kann man die Koeffizienten dann nach und nach ausrechnen.

Man fängt mit A0 an, mit der Konstante, die ist ja durch den Anfangswert gegeben, und

dann kommt der nächste Koeffizient A1 und so weiter.

Wir hatten ja bei den linearen Differentialgleichungen y' gleich a mal y, auch bei den Systemen.

Wir haben gesehen, dass man da die Lösung immer als Potenzreihe schreiben kann, nämlich

mit der Exponentialreihe, also y0 plus x mal a y0 plus x²½ mal a² y0 und so weiter.

x hoch 3 sechste, a hoch 3 y0.

Diese rechte Seite ist ja gerade die Exponentialreihe.

Also bei den linearen Differentialgleichungen können wir diese Reihe immer explizit angeben.

Nicht-lineare Differentialgleichungen sind ja schwieriger zu lösen.

Und dazu hatten wir auch ein theoretisches Ergebnis.

y' gleich f von xy sei so eine beliebige nicht-lineare Differentialgleichung.

Das ist allerdings Skalar, also mit einer reellen Funktion y.

Wenn dann das f als Potenzreihe in x und y darstellbar ist, dann folgt auch die Lösung

y.

Diese Differentialgleichung ist dann als Potenzreihe darstellbar.

Die Lösung y ist auch in einer Potenzreihe entwickelbar.

Man kann also schreiben y von x ist gleich a0 plus a1 mal x minus x0 plus a2 mal x minus

x0 in Klammer und Quadrat und so weiter.

Man hat also dann gemäß der Theorie für die Lösung tatsächlich so eine Darstellung

als Potenzreihe.

Sie erinnern sich ja an das Kapitel über Potenzreihen.

Die konvergieren ja in einem gewissen konvergierendes Radius.

Also da konvergieren sie gleichmäßig und absolut, aber außerhalb nicht.

Und da muss man natürlich aufpassen, dass diese Zahl x minus x0 nicht zu groß wird,

sonst hat diese Potenzreihe keine Bedeutung mehr.

Diesen Potenzreihenansatz wollen wir uns jetzt an Beispielen anschauen.

Das ist also eine sehr schöne Methode, um lokal um den Punkt x0, wo die Anfangsbedingung

vorgeschrieben ist, zu sehen, was die Lösung da macht.

Wir betrachten zunächst nochmal diese lineare Differentialgleichung, die wir schon allgemein

gelöst haben, nur damit wir den Mechanismus bei dieser Lösung mit dem Potenzreihenansatz

nochmal sehen.

Wir betrachten also y Strich gleich Lambda mal y mit einer Zahl Lambda aus R und dem

Anfangswert y an der Stelle 0 gleich 1.

Diese Differentialgleichung ist ja linear, die können wir schon lösen, aber jetzt wollen

wir sehen, wie die Lösung mit dem Potenzreihenansatz funktioniert.

Wir schreiben erstmal den Ansatz hin, y von x ist gleich a0 plus a1 mal x.

Das x0 sieht man hier nicht, weil es bei diesem Beispiel 0 ist.

Das ist immer am bequemsten, wenn man nicht x minus x0 schreiben muss, sondern x, aber

man kann ja das x0 immer auf die 0 verschieben, also das ist kein Problem.

Und dann geht es weiter, plus a2 mal x2 plus a3 mal x3 und so weiter.

Damit wir diesen Potenzreihenansatz in die Differentialgleichung einsetzen können, brauchen

wir auch die Ableitung y Strich von x und die Potenzreihen kann man ja innerhalb des

Konvergenzradius gliedweise differenzieren.

Deshalb erhalten wir für die Ableitung y Strich von x den Ausdruck a1 plus 2 mal a2