machen wir mit aufgabe 2 weiter in aufgabe 2 geht es darum aus der stetigkeit

einer funktion und der komponenz einer folge auch die komponenz der

abgebildeten folge zu zeigen. Aufgabe 2 zu zeigen ist wenn f stetig ist und an gegen a

konvergiert dann konvergiert auch f von an gegen f von a. Das wird jetzt vielleicht so

laufen dass wir das epsilon kriterium der konvergenz ausnutzen und das epsilon delta

kriterium der stetigkeit und damit dann das epsilon kriterium der konvergenz

von dieser folge zeigen. Für alle epsilon 2 größer 0 existiert ein n2 von epsilon 2

so dass für alle n größer gleich n2 gilt dass an minus a kleiner als epsilon 2 ist. Das ist die

konvergenz von an gegen a und stetigkeit von f bedeutet für alle x0 gilt dass für jedes beliebige

epsilon 1 was wir uns wählen können ein delta 1 existiert was von epsilon 1 abhängt so dass für

alle x im definitionsbereich so dass x minus x0 kleiner gleich delta 1 ist daraus folgt f von x

minus f von x0 ist kleiner gleich epsilon 1 und zu zeigen ist es konkret für alle epsilon 3 größer 0

existiert ein n3 was von epsilon 3 abhängt so dass für alle ich sag jetzt mal alle m größer

gleich n3 gilt dass f von am minus f von a kleiner gleich epsilon 3 ist. Wie können wir das schaffen?

Also die Idee ist jetzt hier wir müssen natürlich die stetigkeit und die konvergenz

benutzen und wenn wir sowas klein haben wollen wir wollen mit geschickter wahl von

diesen ganzen variablen hier f von am minus f von am klein machen und wie können wir das

schaffen? Wie können wir zeigen dass so ein ausdruck wie dieser hier klein ist? Wir haben

hier die Form f von etwas minus f von etwas das erinnert uns jetzt sehr stark an diese die Aussage

die wir zur stetigkeit hier folgern können also wenn wir jetzt hier a gleich x0 setzen oder x0

gleich a dann können wir jetzt hier die stetigkeit ans anschauen das heißt wir wissen für jedes noch

so kleine epsilon 1 gibt es ein delta 1 also dafür gilt dann so dass für alle x mit Abstand kleiner

gleich delta 1 von a also x0 gilt dass f von x minus f von a kleiner als epsilon 1 ist. So kriegen wir f von x

minus f von a klein mit der stetigkeit wenn x minus a klein ist. Wobei dieses kleine bedeutet

kleine gleich epsilon 1, delta 1 oder wie auch immer was wir hier drin haben. Wir müssen also irgendwie x

minus a klein bekommen und jetzt wollen wir eigentlich hier diese stelle x gleich am setzen

und wie kriegen wir x also ich schreibe es nicht mehr x sondern am minus a klein

wir müssen ausnutzen dass am gegen a kommergiert und mit dieser überlegung hier können wir den Sack

zumachen wenn am gegen a kommergiert dann müssen wir m nur groß genug wählen und dann wird dieser

ausdruck hier sehr klein. Wenn dieser ausdruck hier sehr klein ist dann spielt jetzt hier am die rolle

von diesem x und a die rolle von diesem x0 und dann können wir zeigen dass damit auch f von am

minus f von a klein wird. Wir müssen jetzt hier diese Reihenfolge diese ganzen variablen so wählen

dass sie in der richtigen Art und Weise von dann abhängen und wir die Konvergenz von f von am

gegen f von a zeigen können. Also das ist die Idee. Die Hoffnung ist dass wir es hinbekommen ohne

den Überblick zu verlieren. Also noch einmal das sind die Dinge die wir benutzen dürfen.

Jetzt geht es folgendermaßen wir beginnen mit diesem Beweis. Wir müssen also akzeptieren dass

uns jemanden epsilon 3 gibt das sehr klein ist. Sei es epsilon 3 größer 0 nicht epsilon epsilon,

epsilon 3 größer 0 fest und beliebig und mit beliebig meint man beliebig klein. Die schwierigen

epsilon sind sozusagen die kleinen epsilon, weil wir dann hier etwas schwieriges zeigen müssen.

Also irgendjemand gibt uns jetzt hier ein epsilon 3 in die Hand zum Beispiel 10 noch minus 10 und wir

müssen jetzt n 3 wählen in Abhängigkeit von epsilon 3 so dass egal welches m wir wieder bekommen

mit der einzigen Einschränkung dass m größer gleich n 3 ist was wir uns gerade selber eingebrockt

haben für dieses m für jedes beliebige m von dieser Form das uns gegeben wird müssen wir zeigen

können dass das hier klar ist. Also wieder so ein hin und her das machen wir die ganze Zeit bei

diesen epsilon delta Beweisen wir schieben uns gibt jemand etwas wir müssen zeigen aha kann

es hier was abliefern was dann wenn wir jemand wieder was zurück gibt eine Bedingung erfüllt die

wir zeigen müssen. Also sei es epsilon 3 größer 0 fest beliebig und klein und wie kriegen wir das jetzt

hin. Die Idee war jetzt wir wollen am Schluss hier ein f von etwas kleiner als epsilon 1 wählen.

Also wir setzen jetzt schon mal epsilon 1 genau als dieses epsilon 3 was jetzt hier gerade uns

gegeben wurde und wir können das hier benutzen. Was setzen wir noch? Wir setzen außerdem x0 als a