Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, gut. Wir hatten angefangen uns mit dem Mehrgitterverfahren zu beschäftigen.

Das ist ein bisschen eine deutsche Spezialität.

Ist auch sowohl in Russland als auch in Deutschland,

ist die Entwicklung stark vorangetrieben worden in den 60er bis 80er Jahren.

Das ist immer noch ein sehr effizientes Verfahren und ist im Wesentlichen das einzige Verfahren,

das optimale Effizienz hat.

In dem Sinne, dass wir zeigen können, und das wird sozusagen unser Zielpunkt auch sein,

dass man zeigen kann, dass im dünn besetzten Fall das Problem gelöst werden kann,

also so wie man eben mit dem iterativen Verfahren lösen kann.

Dass man ein gewisses, relatives Fehlerniveau erreichen kann mit einer in Linearer Komplexität,

mit Groß O von Anzahl der Variablen.

Der Preis, den wir dafür zahlen, ist, dass es kein Black-Box-Verfahren mehr ist,

sondern eher ein recht aufwendiges Verfahren oder zumindest dann auch aufwendig ist,

wenn man in Richtung Parallelisierung denkt, was aber jetzt hier nicht weiter diskutiert werden soll.

Also wie war nochmal die Situation? Wir haben eine gewisse Triangulierung,

der wir in der Feinheitsstufe zuordnen L, auf der wir eine Diskretisierung haben,

die wir letztendlich lösen wollen. Wir werden aber nicht nur dieses Gitter betrachten,

sondern die ganze dahunter liegende Gitterhierarchie und damit die ganze Hierarchie

der geschachtelten, endlich dimensionalen Ansatzräume.

Das heißt also, alles was wir bisher hatten an Freiheitsgraden und an Basisfunktion,

bekommt noch einen oberen Index, der sich auf die Hierarchiestufe bezieht.

Das ist sozusagen das Problem, was wir lösen wollen, was aber eingebettet ist,

in der Hierarchie, das heißt es gibt genauso gut die Matrizen a, k für k kleiner als L,

die wir uns dann im Rahmen des Verfahrens zu Nutze machen und das kann man am besten sehen,

wenn man erstmal sich auf den symmetrischt positiv definiten Fall beschränkt

und sozusagen die Äquivalenz mit der quadratischen Minimierung ausnutzt.

Und was dann schließlich an Verfahren entsteht, gehen wir vielleicht gleich mal dann zur Darstellung des Mehrgitterverfahrens.

Die Basisbeobachtung ist die, dass die klassischen Iterationsverfahren,

die klassischen linear-stationären Verfahren, wie etwa wenn sie geeignet gedämpft sind,

wie ein gedämpftes Jacobi-Verfahren, wenn es richtig gedämpft ist,

zwar weiterhin das schlechte Iterationsverhalten hat,

dass wir vom Jacobi-Verfahren für diese Art von Matrizen kennen,

das heißt also das starke Anwachsen der Kontraktionszahl

und damit das starke Anwachsen der Anzahl der Iterationen, wenn wir die Dimension erhöhen.

Aber wie wir festgestellt haben, diese Verfahren Klettungseigenschaften haben,

in dem Sinn, dass die Fehlerkomponenten, die zu hochfrequenten Eigenfunktionen gehören,

also zu Eigenfunktionen zu großen Eigenwerte, moment, das muss ich jetzt korrigieren,

zu hochfrequenten Eigenfunktionen und wir haben ja gesehen,

dass in unseren Beispielen typischerweise, und das werden wir gleich dann auch noch mal kontinuierlich sehen,

die Eigenfunktion, also die Eigenvektoren unserer Diskretisierungsmatrix,

einfach nur die diskretisierten Eigenfunktionen des zugrunde liegenden kontinuierlichen Problems sind,

das heißt immer höherfrequente Sinusfunktionen, die an den Gitterpunkten ausgewertet werden,

insofern können wir von der Frequenz der Eigenfunktionen reden oder der Eigenvektoren,

dass eben diese hochfrequenten stark abgedämpft werden und nur Anteile, niederfrequente Anteile übrig bleiben.

Das ändert nichts daran, dass der Fehler groß bleibt oder unangenehm groß bleibt,

aber es bedeutet eben dieser Fehler ist es auch auf einem gröberen Gitter darstellbar.

Und das ist die zugrunde liegende Idee eines Zweischritts und darauf aufbauend dann eines Mehrschrittverfahrens,

dass man folgendermaßen vorgeht, ein Schritt auf dem Level, wir sind also auf dem Diskretisierungslevel L

und wollen den Karten-Iterationsschritt des zu definierenden Verfahrens formulieren.