Dieser evtl. Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen Nürnberg präsentiert.

Wir hatten in dieser letzten Vorlesung angefangen den Begriff der Determinante einzuführen.

Das ist eine Abbildung die einer Matrix eine Zahl zuordnen soll.

Man kann auch alternativ so sehen, dass nicht der Matrix, sondern den Endspalten

einer Matrix eine Zahl zugeordnet wird, dass es also keine Abbildung auf dem

Matrizenraum ist, sondern auf den n-fach genommenen Tupelraum. Im Moment

sprechen wir hier von den Zeilen der Matrix, wir werden später sehen, wir

können genauso gut von den Spalten reden. Und diese determinanten Funktion, die

sollen nun vorzeichenbehaftet den Volumen, einen Volumensbegriff für das von

den Zeilen der Matrix oder den Zeilen, die in den N-Argumenten stehen, aufgespannten

Parallelotops darstellen. Und da hatten wir diese Bedingungen festgelegt als

sinnvolle Bedingungen für einen Volumenbegriff. Das Volumen streckt sich

unter entsprechender Streckung in einer Richtung.

Das heißt also, wenn ich ein Faktor T habe in einer der Komponenten, darf ich

den herausziehen. Was hat der Bimach? Wenn ich eine Scherung mache, dann

verändert das das Volumen nicht und das drückt sich gerade dadurch aus, dass wenn

ich zu einer der Zeilen AL, das Vielfache, das T-Fache der Zeile AK addiere, dann

ändert sich das Volumen nicht. Das vorzeichenbehaftete Volumen müssen wir

genauer sagen, das ganze hat eben mein Vorzeichen und wenn ich zwei Zeilen

vertausche, dann bekomme ich eine Vorzeichenänderung in dieser zugeordneten

Zahl. Es tut mir leid, dass das jetzt so flackert.

Vielleicht beruhigt das sich noch. Okay und schließlich müssen wir sozusagen

noch ein bisschen das Messeinheiten-System festlegen und das machen

wir dadurch den überfordern die Einheitsmatrix hat die Determinante 1.

Wir werden später sehen, dass durch diese Forderungen oder das haben wir

schon gesehen die Determinante eindeutig festgelegt ist und diese

Zusatzforderung nur dazu führt, dass ein gewisser Faktor, der in der notwendigen

Form der Determinante auftaucht, dann eben entsprechend festgelegt ist. Das

heißt also jede andere Funktion, die diese Eigenschaften hat, hier mit

Ausnahme der letzten, wird sich nur um einen Faktor unterscheiden.

Gut, was haben wir schon gesehen? Wir hatten erst mal das für den 2 x 2

Fall ausgerechnet. Wir haben gesehen, eine solche Funktion, wenn es sie

überhaupt gibt, wir wissen im Moment noch nicht, dass es sie gibt, wenn es sie

überhaupt gibt, mit diesen vier genannten Eigenschaften, Römisch 1 bis

Römisch 3 und der Normierungseigenschaft 0 und gehen wir noch mal

zurück. Wieso heißen die jetzt hier Römisch 1 bis Römisch 3 genauso wie die

elementaren Zeilenumformungen? Nun gut, weil es eben genau die elementaren

Zeilenumformungen sind. Das heißt also hier wird gesagt, wie die Determinante

reagiert sozusagen auf elementare Zeilenumformungen. Und damit haben wir

den ganzen Apparat des SCAUS-Verfahrens zur Verfügung, um eben

von allgemeinen Matrizen zu einfacheren, zu speziellen

Matrizen zu kommen und wissen, wie sich die Determinante unter diesen

Umformungen verhält. Deswegen, das ist auch der Grund, genau diese von vielen

verschiedenen äquivalenten Formulierungen hier für die

Definition oder für den Anfang gewählt zu haben.

Gut, das hatten wir gesehen. Die Funktion, wenn sie überhaupt existiert, ist

eindeutig festgelegt und sie ist notwendigerweise 0 auf den Matrizen mit

Rang kleiner n, also den nicht invertierbaren Matrizen.

Jetzt müssen wir sie mal definieren und das ist die Definition. Die lassen wir

jetzt einfach mal vom Himmel fallen. Wenn man mal genauer hinschaut, müssten wir