Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja inzwischen in der Vorlesung schon eine ganze Palette von Methoden zur Lösung

von Differentialgleichungen kennengelernt. Einmal die Methoden, die auf Integration basieren,

aber manchmal kann man die entsprechenden Integrale ja nicht auswerten. Und wenn sie

lokal um einen Punkt, wo eine Anfangsbedingung gegeben ist, sehen wollen, wie die Lösung aussieht.

Da bietet sich die Potenzreihen-Methode an. Die funktioniert, wenn die rechte Seite ihrer

Differentialgleichung auch als Potenzreihe darstellbar ist. Wir hatten ja am Ende der

letzten Vorlesung ein Beispiel, wo da der Cosnuss stand. Den können Sie ja wunderbar als Potenzreihe

darstellen. Da ist also der Potenzreihen-Ansatz gerechtfertigt. In der Praxis rechnet man dann

nicht sehr viele Koeffizienten aus, sondern nur die ersten paar, um dann lokal zu sehen,

wie sich die Lösung weiterentwickelt. Und das werden wir jetzt erstmal noch an einem

Anwendungsbeispiel sehen. Das Beispiel haben wir schon einmal gesehen. Ich beschäftige mich ja

oft mit Flüssen, Gasfluss durch Pipe Lines. Und dieser Gasfluss wird im stationären Fall durch

eine gewöhnliche Differentialgleichung beschrieben. Für die Geschwindigkeiten dazu haben wir folgende

Differentialgleichung. Für stationäre, also zeitunabhängige, Gasgeschwindigkeiten. Y von X

nennen wir die in Pipe Lines. Also das X ist die Koordinate entlang der Pipe Line. Wenn Sie einen

gewissen Eingangsdruck in der Pipe Line haben, wird der Druck ja sinken, wenn Sie sich weiter in der

Pipe Line bewegen und dann wird die Geschwindigkeit größer. Und dann haben Sie folgende Gleichung.

a² – y² mal y' von x ist gleich θ½ mal yx hoch 3. Das ist hier das a, die Schallgeschwindigkeit

in diesem Gas. Und das θ enthält die Systemparameter. Da steckt also der Durchmesser dieser

Röhre drin und noch der Reibungsparameter, der die Rauchigkeit dieser Pipe Line Wand misst.

Und da sind ja lauter polynomialer Ausdrücke zu sehen. Und um hier die Lösung zu

approximieren, machen wir den Potenzreinansatz. Wir machen den Potenzreinansatz. y von x ist

gleich Summe von j gleich 0 bis unendlich aj mal x hoch j. Und diesen Potenzreinansatz setzen wir

jetzt in die Differentialgleichung ein. Dazu brauchen wir natürlich die Ableitung y' von x.

Vor allem kommen hier noch y hoch 3 und y² vor. y² haben wir ja in der letzten

Vorlesung auch schon gesehen. Das können wir gut mit dem Cauchy-Produkt ausrechnen. Und wenn

wir y² haben, können wir daraus auch das y hoch 3 ausrechnen. Da müssen wir eben noch ein Cauchy-Produkt berechnen. Wir rechnen

erstmal y² aus. y² ist ja auch als Potenzreihe dann darstellbar. Die Summe von k gleich 0 bis

unendlich. Und dann kommt der Koeffizient bei x hoch k. Der ist durch eine endliche Summe

gegeben. Die Summe von l gleich 0 bis k. Al mal ak minus l. Und das Ganze wird jetzt mit x hoch k

durchmultipliziert. Und ja, das ist die übliche Formel für das Cauchy-Produkt. Hier multiplizieren

Sie ja die Potenzreihe mit sich selbst. Also in dieser Formel für das Cauchy-Produkt haben Sie

eigentlich zwei verschiedene Potenzreihen. Da steht dann al bk minus l. Aber hier ist das a

gleich dem b. Was ist jetzt y hoch 3 von x? Das ist ja unser y² von x, was schon drüber steht,

multipliziert mit y von x. Das ist also auch wieder ein Cauchy-Produkt. Die Reihe für y²

haben wir ja schon. Und jetzt bilden wir wieder das Cauchy-Produkt mit der Reihe für das y.

Also schreiben wir, das ist die Summe von j gleich 0 bis unendlich. Jetzt kommt erstmal dieser

Karte-Koeffizient in der Reihe für y². Und der ist ja die Summe von l gleich 0 bis k. Al ak minus

l. Das haben wir hier abgeschrieben oder übertragen. Und hier brauchen wir eine Summe von k gleich 0

bis j von diesem Karten-Koeffizienten. Und der wird multipliziert mit aj minus k. So und das Ganze wird

dann mit x hoch j multipliziert. Also wir suchen den Koeffizienten bei x hoch j. Und da läuft die

Summe von k gleich 0 bis j. Und hier ist der Karten-Koeffizient des Cauchy-Produktes und

hier ist der j-Karten-Koeffizient der Reihe selbst. Und zusammen gibt das die Reihe für y hoch 3.

Dann haben wir y' die Ableitung. Das ist ja die Summe von j gleich 0 bis unendlich.

J plus 1 mal aj plus 1 mal x hoch j. Da haben wir schon die Index-Transformation durchgeführt.

In unserer Differential-Gleichung tritt ja a² mal y' von x auf und davon ziehen wir ab y² mal y'

von x. Also brauchen wir noch diese Potenzreihe für y² mal y' von x. Das ist auch wieder ähnlich

strukturiert wie y hoch 3. y² von x mal y' von x können wir wieder ausrechnen, indem wir diese

Reihe für y² von x hernehmen und das Cauchy-Produkt mit der Reihe für y' von x bilden. Das ist also