In Aufgabe 3 geht es um den Grenzwert vom Folgen und wir starten mit der Folge an,

die definiert ist als 3n²-2n plus 2 durch 5n² plus 4n plus 1. Was macht man jetzt hier?

Was ist der Grenzwert von n geht gegen unendlich von a n? Ich schreibe es nochmal ab, 3n²-2n plus 2 durch 5n² plus 4n plus 1.

Das ist hier sozusagen der Grenzwert unendlich durch unendlich, weil hier vorne,

das geht wie n² gegen unendlich, das heißt hier müssen wir erst etwas umformen um den Grenzwert ablesen zu können.

Und was wir jetzt machen ist, wir kürzen die höchste Potenz von n die hier vorkommt,

das ist n², das heißt das ist der Grenzwert von 3 minus 2 durch n plus 2 durch n²,

die teilt durch 5 plus 4 durch n plus 1 durch n². Was wir jetzt machen können ist,

wir kucken uns jetzt alle einzelne Teile an und das hier geht gegen 0, das hier geht gegen 0,

das hier geht gegen 3, also nicht gegen 6, gegen 0, das geht gegen 0, das geht gegen 0, das geht gegen 5,

das heißt der ganze Nenner geht gegen 5, nicht gegen 0, das wäre schlecht,

und der ganze Zähler, der kombiniert gegen 3. Das heißt, jetzt können wir den,

also das haben wir auch schon eine Rechenregel für Grenzwerte benutzt, nämlich die Summe von

diesen ganzen Folgen kombiniert gegen die Summe der Grenzwerte, das heißt gegen 3,

der Nenner kombiniert gegen die Summe der Grenzwerte des Nenners und so weiter, diese Summe hier,

und nach der Rechenregel für Brüche, für Folgen die nicht Null sind und deren Grenzwerte nicht

Null ist, das haben wir jetzt hier erfüllt, können wir auch den Bruch der Grenzwerte bilden,

das heißt das ist der Grenzwert von 3 durch 5, also 3 Fünftel.

Nächste Aufgabe, bn ist gleich 3 hoch 2n plus 1 minus 7 geteilt durch 9 hoch n plus 4,

auch das ist wieder der Typ unendlich durch unendlich, jetzt fahren wir erstmal um,

bevor wir weiter etwas mitmachen, jetzt schreiben wir mal 3 hoch 2n mal 3 minus 7 durch 9 hoch n plus 4.

Jetzt benutzen wir die Potenzgesetze, 3 hoch 2n ist das gleiche wie 3 hoch 2 das ganze hoch n,

das heißt 9 hoch n, das ist also 9 hoch n mal 3 minus 7 durch 9 hoch n plus 4.

Es ist immer noch der Typ unendlich durch unendlich, wir müssen weiter umformen,

was machen wir immer mit Typ unendlich durch unendlich, wir versuchen größte Potenzen auszuklammern,

in dem Fall ist die größte Potenz, ja es ist nicht Potenz sondern ein Exponent, aber das macht nichts,

der größte Einfluss hier ist 9 hoch n, auch das können wir ausklammern, 3 minus 7 mal 9 hoch

minus n geteilt durch 1 plus 4 mal 9 hoch minus n. Und jetzt sehen wir genau was hier passiert,

das hier kombiniert gegen 3, das hier kombiniert gegen 0, das hier kombiniert gegen 0, das hier kombiniert gegen 1,

das heißt der Grenzwert von n gegenüber unendlich von bn ist 3 durch 1, also 3. Aufgabe C, Cn ist 1 durch 1 plus minus 1 hoch n plus

1 durch n plus 2 mal Wurzel n plus 1. So was machen wir jetzt hier damit, das besteht aus mehreren Komponenten,

die so ein bisschen knifflig aussehen. Also erstmal was ist das hier, 1 plus minus 1 hoch n,

das ist immer abwechselnd 2 und 0 und 2 und 0 und so weiter, das hier kombiniert also zumindest schon mal nicht,

das ist ein Problem, insbesondere ist jeder zweite Eintrag 0 und das ist im Nenner eventuell problematisch.

Und was ist mit dem anderen Term, Wurzel n plus 1 durch n plus 2, was machen wir damit,

das ist wieder so unendlich durch unendlich Fall, das heißt jetzt müssen wir mal Wurzel n ausklammern,

oder wir könnten auch n ausklammern, das können wir auch machen, also noch mal n ausklammern,

n mal n und weiter, jetzt steht hier Wurzel 1 durch n plus 1 durch n², hier klammern wir n aus, keine Wurzel,

natürlich 1 plus 2 durch n, steigen wir das jetzt hier weg, das heißt das ist Wurzel 1 durch n plus 1 durch n²

geteilt durch 1 plus 2 durch n und jetzt sehen wir, der Zähler geht gegen 0, der Nenner geht gegen 1,

das heißt das ganze hier geht gegen 0 für n gegen unendlich, also diese zweite Komponente.

Jetzt denken wir drüber nach, was das bedeutet, das heißt im Nenner von diesem Bruch hier,

ist das eine nicht konvergierend, das alterniert zwischen 2 und 0 und der zweite Ausdruck, der konvergiert gegen 0,

das heißt jeder zweite von diesem, also jeder gerade Index n, ist hier konstant gleich 0,

konvergiert hier gegen 0, das heißt der ganze Bruch hier, der konvergiert gegen plus, also der konvergiert bestimmt gegen plus oder minus endlich,

wir müssen uns über das Vorzeichen noch Gedanken machen. Und jeder ungerade, da konvergiert das hier gegen 0,

das wird also irrelevant und das hier ist immer konstant durch 2, das heißt das hier konvergiert also gegen ein halb.

Wir haben also zwei verschiedene Komponenten von dieser Folge, die gegen unterschiedliche Dinge konvergieren oder divagieren,

das heißt diese Folge hat keinen Grenzwert. Das müssen wir uns auch noch ein bisschen genauer aufschreiben.

Jetzt wählen wir mal eine Teilfolge, C2n, wenn n gerade ist, dann steht hier 2, 1 plus 1, also 2,