Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über die Laplace-Transformation gesprochen und dieses

Kapitel geht noch lange weiter. Die Laplace-Transformation haben wir hier ja als ein Mittel

zur Lösung von Differentialgleichungen eingeführt. Aus den Funktionen y von t im Zeitbereich,

die die Differentialgleichung lösen, macht ja die Laplace-Transformation eine transformierte

Funktion L von y von t und die lebt in irgendeinem anderen Bereich, im Frequenzbereich. Und

bei dieser Transformation verschwinden die Ableitungen aus der Differentialgleichung

und man erhält eine algebraische Gleichung in dem Frequenzbereich und da kann man dann

wiederum arbeiten und die Rücktransformation erlaubt dann diese Ergebnisse wieder in den

Zeitbereich zu übertragen. Also das ist so eine Art Lösungsmaschinerie, mit der man

sehr viele Probleme auch angehen kann. In dem Frequenzbereich der Laplace-Transformierten

arbeiten sie dabei natürlich viel mit Tabellen. Es gibt ja Tabellen von Laplace-Transformierten

und da können sie dann die Originalfunktionen ablesen oder auch die Laplace-Transformierte

und ohne die Tabellen wäre das viel zu mühsam. Aber mit diesen Werken ist das eine sehr angenehme

Funktmethode zur Lösung und die E-Techniker betreiben das ja besonders gerne. Ich wiederhole

nochmal die Definition der Laplace-Transformation. Diese Variable s der Laplace-Transformierten

ist ja ein Parameter in seinem uneigentlichen Integral. Der Wert wird für jeden Parameter

s durch den Wert dieses uneigentlichen Integrals bestimmt. Die Laplace-Transformation

werden wir folgendermaßen definiert. L von f von t nennen wir auch kürzer groß f von

s. Das ist als uneigentliches Integral von Null bis unendlich definiert und dabei gibt

es so eine exponentielle Gewichtsfunktion e hoch minus s mal t und die wird mit f von

t multipliziert und dann wird das ganze integriert. Man integriert also von Null bis unendlich

in diesem positiven Zeitbereich. Man stellt sich hier Null als Anfangszeit vor und schaut

dann wie das weiter läuft. Je größer das s ist, desto stärker fällt e hoch minus s

mal t. Das ganze ist natürlich, dieses groß f von s ist nur dort definiert, wo dieses

uneigentliche Integral existiert, aber dieser Bereich, der Konvergenzbereich hat immer die

Form eines halb unendlichen Intervalles von a Null bis unendlich.

Diese Transformation L ist auch invertierbar, also man kann dann auch zurück von einer

transformierten zu einer Originalfunktion. Man kann zum Beispiel die Konstantfunktion

transformieren, die Konstante Funktion f von t ist gleich eins. Nach Definition gilt, die

Laplace transformierte von f von t ist das uneigentliche Integral, das ist ja als Grenzwert,

wo die obere Grenze a gegen unendlich geht, vom Integral von Null bis a definiert und

der Integrant ist hier einfach e hoch minus s mal t. Der wird noch mit dieser Funktion

multipliziert, aber die ist ja konstant eins, deshalb bleibt hier nur e hoch minus s t als

Integrant übrig und da kann man ja die Stammfunktion gut angeben, das ist nämlich minus eins durch

s mal e hoch minus st. Also können wir dieses uneigentliche Integral berechnen. Die obere

Grenze a geht gegen unendlich, die Stammfunktion ist minus eins durch s mal e hoch minus s

mal t und das t nimmt hier die Werte Null und a an, das sind die Grenzen. Und wenn das

s größer Null ist, dann geht ja e hoch minus s mal a gegen Null für a gegen unendlich,

das heißt der Beitrag dieser oberen Grenze verschwindet dann und für t gleich Null erhält

man ja eins durch s mal e hoch Null, e hoch Null ist aber eins. Und bei der unteren Grenze

t gleich Null hat man ja so ein Minuszeichen und mit dem Minuszeichen, das vor der Stammfunktion

steht, erhält man dann ein Plus, also plus eins durch s. Also eins durch s, wenn das

s größer Null ist für s gleich Null funktioniert das nicht, da ist der Wert unendlich, also

unendlich ist der Wert für s kleiner gleich Null. Und man betrachtet dann bei der Laplace

transformierten Null diesen Bereich s größer Null, wo das uneigentliche Integral auch konvergent

ist. Dieser Parameter s ist ja bei uns reell, man kann das s auch komplex wählen, entscheidend

ist dann der Realteil von s, also der Realteil von s muss größer Null sein, damit dieses

uneigentliche Integral existiert. Diese Grenze Null heißt die Konvergenz abszisse. Also in

unserem Beispiel gerade ist die Konvergenz abszisse a gleich Null. Entsprechend kann