Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade an, was passiert, wenn Quantensysteme sich gewissermaßen drehen.

Also wenn die Elektronen sich um den Atomkern bewegen oder wenn die Elektronen dann später selber anfangen, sich zu drehen.

Und deswegen haben wir uns den Drehimpuls-Aparator angeschaut. Ich wiederhole nochmal kurz die wesentlichen Eigenschaften.

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik ist genauso definiert wie in der klassischen Mechanik als R-Kreuz P.

Und das heißt, hier gibt es Einträge, die gehen so wie y, p, z, –z, p, y und so weiter.

Und eine der ersten Fragen, die man offensichtlich stellen kann, ist, was ist mit den verschiedenen Operatoren Lx, Ly und Lz, die hier die Einträge bilden?

Zum Beispiel, wie vertauschen die miteinander?

Und was wir dann gefunden hatten, war, dass der Kommutator von Lx und Ly gleiches ih quer Lz.

Und genauso die anderen Kommutatoren findet man, wenn man x, y und z zyklisch durchtauscht.

Wir hatten außerdem gefunden, dass der Kommutator von sagen wir Lz mit L², was einfach Lx² plus Ly² plus Lz² ist,

dass dieser Kommutator von Lz mit L² gleich 0 ist, genauso für x und y.

Und das bedeutet, man kann im Prinzip eine Basis finden von Eigenvektoren, die simultanen Eigenvektoren sind zum Betragsquadrat des Vektors und zu Lz.

Aber nicht gleichzeitig auch noch zu Lx und Ly, denn mit denen vertauschen wir ja nicht.

Und diese Basis hatten wir dann so bezeichnet, dass wir gesagt hatten, wir haben zwei Quantenzahlen,

klein l ist die Quantenzahl, die zu L² gehört, klein m ist die Quantenzahl, die zu Lz gehört.

Und dann sind die entsprechenden Eigenwerte so, dass Lz die Eigenwerte h quer m hat.

Und L² hat die Eigenwerte h quer² L mal L plus 1.

Und m selber nimmt verschiedene Werte an, die sich jeweils um 1 voneinander unterscheiden.

Und es startet bei minus L, minus L plus 1 und so weiter bis L minus 1 und L.

Und damit es tatsächlich eine Reihe ist von Zahlen, die bei minus L starten und bei L aufhören und sich aber jeweils nur um 1 unterscheiden,

muss die Differenz zwischen dem Ende und dem Anfang, also 2L, muss ganzzahlig sein.

Und das bedeutet, dass L selber entweder ganzzahlig oder halbzahlig ist.

Und das ist schon eine neue Erkenntnis, denn wenn man das Wasserstoffatom sich beispielsweise anschaut,

dann hatte man da nur diese ersten Optionen L gleich 0, 1, 2 und so weiter.

Wir hatten dann auch angegeben, wie man von einem solchen Zustand zu dem Zustand mit dem nächst höheren m kommen kann.

Und das ging mit den Auf- und Absteigeoperatoren für den Drehimpuls, die waren auch recht einfach definiert.

Die waren gegeben, indem man Lx und Ly verwendet und dann so kombiniert, wie man reale und imaginärteile von einer komplexen Zahl kombinieren würde.

Auch sowas ist uns ja nicht ganz unbekannt, denken wir an den harmonischen Oszillator, da hatten wir sowas wie x plus ip

und das gab uns dann den Vernicht-Operator beispielsweise.

Und wir hatten gefunden, dass wenn ich L plus anwende auf den Zustand Lm, dann kommt da heraus der Zustand mit m plus 1,

aber mit einem Vorfaktor und der Vorfaktor war gegeben als L mal L plus 1 minus m mal m plus 1.

Und wenn wir hier L minus hätten, dann stünde da m minus 1.

In der Tat waren wir ja so vorgegangen, dass wir uns zuerst angeschaut haben, was macht L plus und L minus

und dann hatten wir gefordert, dass dieser Vorfaktor hier so beschaffen sein muss, dass irgendwann die Reihe abbricht.

Dass wir irgendwann, sagen wir in dem Falle offenbar bei L ankommen und das dann nicht mehr weitergeht,

weil wenn ich m gleich L setze, dann ist der Vorfaktor hier Null.

Also hier oben geht die Reihe nicht mehr weiter.

Und das war notwendig gewesen, damit man nicht auf einen Widerspruch kommt, sonst hätte man etwas von der Form gehabt,

dass die Länge eines Vektors negativ ist.

Okay, das waren die wesentlichen Eigenschaften, die wir herausgefunden haben.

Und weil man nun die Matrixelemente von L plus und L minus kennt in dieser Basis,

kennt man damit automatisch auch die Matrixelemente von Lx und Ly.

Das heißt, wir kennen alle unsere Operatoren auch explizit als Matrix.

L set und L² sind sowieso diagonal, so haben wir es ja konstruiert, und Lx und Ly kennen wir dann auch.

Als nächstes möchte ich jetzt kurz diskutieren, was passiert bei diesen halbzahligen Werten.

Und speziell, was passiert, wenn wir ein Halb nehmen, wenn wir einen Drehimpuls von der Länge ein Halb nehmen.

Und die wichtigste Anwendung dafür ist einfach der Drehimpuls von einem einzelnen Elektron, weil sich nun eben herausstellt,

das Elektron kann sich gewissermaßen um seine eigene Achse drehen, und der zugehörige Drehimpulswert ist tatsächlich ein Halb.

Und in dem Fall spricht man dann nicht mehr vom Drehimpuls, sondern man spricht eben vom Spin des Elektrons.

Das heißt, jetzt möchte ich Spin ein Halb diskutieren und dann auch die Notation etwas ändern,