Die nächste Aufgabe ist Aufgabe 4 und in dieser Aufgabe geht es um einen hohen Turm.

Die Konstruktion dieses Turms sieht so aus, dass wir Würfel übereinander schichten.

Also hier ist der erste Würfel, der hat Kantenlänge 1 Meter, Länge, Breite, Höhe.

Und auf diesen Würfel mit Kantenlänge 1 Meter legen wir einen Würfel mit, ja das ist

nicht so schön gemalt.

Hier Kantenlänge 1,5 Meter und so weiter.

Darauf kommt wiederum ein Würfel.

Also wie man sieht werden die ziemlich schnell ziemlich klein.

Und die erste Frage die wir uns stellen ist, wie hoch ist der Turm?

Und diese Höhe ist natürlich 1 Meter plus ein halber Meter plus ein Drittel Meter.

Also zuschreiben, hier ist ein Drittel Meter und so weiter.

Das heißt das ist Summe über K gleich 1 bis unendlich 1 über K Meter.

Und wie wir wissen ist das hier eine Delegate Reihe, die hat die Delegate gegen plus unendlich,

das heißt das ist beliebig groß.

Also wir sagen jetzt einfach mal, dass es jetzt unendlich 1 Meter hoch ist.

Weil zu jeder Höhe gibt es dann eine Zahl oder ein Würfel, der diese Höhe noch überschreitet.

Das heißt der Turm ist tatsächlich unendlich hoch.

Jetzt fragen wir uns, wie viel Farbe brauchen wir um diesen Turm komplett anzustreichen?

Und jetzt können wir uns jetzt so überlegen, wie viel Farbe brauchen wir immer für den

Kartenwürfel?

Wir müssen nie die Grundfläche eines Würfels anstreichen, weil der Würfel immer komplett

auf einem anderen Würfel drauf steht.

Also wir streichen den jetzt hier so an.

Da gibt es jetzt hier diese Flächen und die mal 4 sozusagen.

Und dann gibt es hier noch diese Fläche, die ist aber ein bisschen reduziert durch den

Würfel, der auf ihr steht.

Das heißt wir haben 4, also die Fläche des Kartenwürfels, die anzustreichen ist, ist

4 mal 1 durch K mal 1 durch K plus 1 durch K mal 1 durch K.

Aber jetzt können wir was abziehen, denn diese Fläche da oben, da steht noch nur für drauf,

die müssen wir nicht komplett einstreichen.

Und um wie viel ist das ganze reduziert?

Um 1 durch K plus 1 mal 1 durch K plus 1, was die Grundfläche des Würfels ist, der

drauf steht.

Das heißt das ist 4 durch K Quadrat plus 1 durch K Quadrat minus 1 durch K plus 1 Quadrat.

Also 5 durch K Quadrat minus 1 durch K plus 1 Quadrat.

Und was ist jetzt die komplette Fläche a?

Das ist jetzt die Summe von K gleich 1 bis unendlich 5 durch K Quadrat minus 1 durch

K plus 1 Quadrat.

Jetzt wenn wir wollen, können wir das noch ausrechnen.

Wir wissen die Summe über 1 durch K Quadrat, das ist Pi Quadrat Sechstel, das heißt das

ist jetzt 5 mal Pi Quadrat Sechstel.

Und was wir jetzt hier abziehen, das ist Pi Quadrat Sechstel minus den ersten Term, weil

wir nur von 1 1⁄2 zum Quadrat, 1 1⁄3 zum Quadrat, 1 1⁄4 zum Quadrat und den ersten

Term lassen wir weg, also minus 1.

Das heißt das hier ist 4 Pi Quadrat Sechstel plus 1, das könnte ich jetzt nicht verrechnet

haben.

Also die genaue Zahl müsste jetzt eigentlich stimmen, ich könnte mich verrechnet haben,

aber der wichtigste Punkt ist, das hier ist auf jeden Fall endlich groß.

Das heißt wir können mit endlich viel Farbe diesen unendlich hohen Turm anstreichen.

Und das Volumen, das Volumen des Kartenwürfels, das ist natürlich 1 durch K hoch 3, ich lasse