Wir wollen im Folgenden uns ein wenig von den konkreten Beispielen des Rn und Cn aus

der vergangenen Woche verabschieden und untersuchen, inwiefern der Begriff des

Skalarproduktes sich verallgemeinern lässt auf eine ganze Familie von Abbildungen,

den sogenannten bilinear und sesquilinear Formen. Dafür schreiben wir kurz die Überschrift des

Kapitels bilinear und sesquilinear Form. Sie erinnern sich, ich habe schon im vorigen Video

angedeutet, dass sesqui anderen Teil heißt. Das heißt, wir werden hier Abbildungen betrachten,

die in dem ersten Argument linear und im zweiten semilinear sind und dementsprechend auch die

bilinear Form, die in beiden Argumenten linear ist. Und da wir das Ganze jetzt auf einem etwas

abstrakterem Niveau betrachten, nehmen wir jetzt nicht mehr an, dass der zugrunde liegende Körper

k die reellen oder die komplexen Zahlen sind, sondern wir sprechen ganz allgemein von einem

beliebigen Körper k. Das heißt, im Folgenden ist k ein beliebiger Körper. Und wir beginnen

direkt mit der Definition der bilinear Form. Das kann man sich so ein bisschen vorstellen

als die Verallgemeinerung des kanonischen Skalarproduktes im euklidischen Raum. Das

heißt, wir beginnen mit einer Definition der bilinear Form. Das heißt, jetzt anstatt immer

ein Skalarprodukt zu schreiben, werden wir eine Abbildung S definieren und dafür brauchen wir

erstmal ein paar Vektoren, um deren Verhalten festzulegen, seien V, V' W und W' aus dem

Vektorraum V, wobei V ein K-Vektorraum ist. Vielleicht schreibe ich das noch drüber.

Endlich dimensionaler K-Vektorraum, kürzlich ab mit V' R. Jetzt haben wir Vektoren gegeben

aus diesem K-Vektorraum. Zusätzlich brauchen wir ein Skalar aus dem Körper k. Dann nennen wir

folgende Abbildung eine bilinear Form. Dann nennen wir eine Abbildung von folgender Gestalt. Ich werde

sie jetzt im folgenden immer mit s bezeichnen. S erwartet zwei Argumente, bildet also ab von V

Kreuz V in den Körper. Wie sieht diese Abbildung aus? Naja, sie schickt ein Paar bestehend aus

zwei Vektoren V und W auf die Anwendung dieser Abbildung S auf V und W. Wie das konkret aussieht,

das können wir hier nicht angeben. Das entgibt ganz davon ab, was die bilinear Form ist. Wir

werden aber auf jeden Fall einige Beispiele sehen. Denken Sie einfach an der Stelle immer an das

Skalarprodukt als ein Spezialfall. Diese Abbildung nennen wir bilinear Form auf V und wann nennen wir

die Abbildung so? Naja, wenn sie bilinear ist. Macht Sinn, dann nennen wir sie bilinear Form.

Jetzt können Sie sich denken, ja, was soll das heißen bilinear? Vielleicht sollten wir das auch

noch definieren. Das heißt nichts anderes wie linear in beiden Argumenten. Bilinear ist, das

heißt linear in beiden Argumenten, im ersten und zweiten. Dafür wollen wir die Bedingungen

noch mal hinschreiben. Es muss Folgendes gelten, wenn wir S betrachten auf V plus V Strich und W

im zweiten Argument, dann muss es dasselbe sein wie S von V und W plus S und V Strich und W.

Also können wir linear auseinanderziehen im ersten Argument. Dasselbe muss im zweiten Argument hier

auch gelten für die Addition. Das heißt, wenn wir S von V mit W plus W Strich betrachten, das muss

dasselbe sein wie S von V und W plus S von V und W Strich. Also auch hier additiv linear im zweiten

Argument. Und jetzt brauchen wir noch das Skalar. Da muss natürlich auch was gelten. Es muss Folgendes

gelten, nämlich das S von Lambda V und W. Da können wir einfach das Skalar rausziehen. Ist gerade S von V und W.

Und ich kann es genauso aus dem zweiten Argumentlinie heraus oder reinziehen. Das heißt, das muss sein S von

V Lambda W. Wenn diese Eigenschaften gelten, also die Bilinearität, dann sprechen wir von einer

Bilinearform. Jetzt können wir das Ganze noch ein bisschen näher charakterisieren. Wir nennen die

Abbildung S symmetrisch. Naja, klar, wenn ich die beiden Argumente vertauschen kann. Die Abbildung S heißt

symmetrisch. Falls folgende Bedingung gilt, S von V und W muss gerade S von W und V sein.

Das heißt, wir schreiben S von V und W muss gleich S von W und V sein. Und das natürlich für alle V und W

aus dem Vektorraum. Dann nennen wir sie symmetrisch. Jetzt kommt ein neuer Begriff, den wir so noch nicht

gesehen haben. Den nennen wir alternierend oder schief symmetrisch. Das ist halt dann, wenn wir noch

ein Vorzeichenwechsel bekommen oder manchmal auch schief symmetrisch in der Literatur. Falls obige

Bedingungen leicht anders gilt, müssen wir noch ein Vorzeichenwechsel einbauen. S von V und W muss hier

dasselbe sein wie Minus S von W und V. Auch wieder für alle Vektoren V und W aus dem Vektorraum.

Gut, können wir für so etwas ein Beispiel angeben für so eine bilinear Form? Also es muss eine

Abbildung sein, die bilinear ist und sie kann symmetrisch oder schief symmetrisch sein. Naja,