Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Heute wollen wir das Kapitel über die Laplace-Transformation fortsetzen.

Wir wollen ja mit der Laplace-Transformation dann auf Differentialgleichungen operieren.

Dabei ist es wesentlich, dass man die entsprechenden Rechenregeln für die

Laplace-Transformation kennt. Deshalb wiederhole ich die nochmal.

Die Definition der Laplace-Transformation war ja dieses uneigentliche Integral von null bis unendlich.

Man integriert hier im positiven Bereich, weil man davon ausgeht, dass man irgendwann startet,

also bei der Zeit null und dann läuft das System weiter. Als Gewichtsfunktion hat man e hoch

minus s mal t und damit multipliziert man die Funktion f von t. Aus dieser Funktion f von t,

die im Zeitbereich definiert ist, wird also diese Laplace-Transformierte, die im Frequenzbereich lebt.

Und aus der Definition folgt dann eine Regel für die Laplace-Transformierte von f Strich.

Die Laplace-Transformierte von klein f Strich, von der Ableitung von klein f,

kann man zurückführen auf groß f von s. Es gilt L von klein f Strich von t ist gerade das

s fache von groß f von s minus klein f von null. Also wenn man in dem Zeitbereich differenziert,

muss man im Frequenzbereich mit s multiplizieren und dieses f von null muss man noch abziehen,

das darf man nicht vergessen. Wenn man jetzt diese Regel auf die zweite Ableitung anwendet,

erhält man erst mal die Laplace-Transformierte der zweiten Ableitung als das s fache der

Laplace-Transformierten der ersten Ableitung. Also das ist dann s Quadrat mal f von s,

wenn man die Regel von oben in sich selbst einsetzt, minus s mal f von null und dazu muss man noch f

Strich von null abziehen. Also das folgt aus der Regel Nummer eins, denn die zweite Ableitung

ist ja die Ableitung von f Strich und das kann man natürlich auch für f zwei Strich durchführen,

dann kriegt man den Faktor s hoch drei vor groß f von s. Also die Laplace-Transformierte der zweiten

Ableitung f zwei Strich von t ist gleich s hoch drei mal groß f von s, minus s Quadrat mal f von null,

minus s mal f Strich von null, minus f zwei Strich von null. Also diese Terme, die man noch abzieht,

die werden mehr und mehr bei höherem Ableitungsgrad. Wir haben ja im wesentlichen

Differentialgleichungen bis zur zweiten Ordnung betrachtet, deshalb hören wir hier mal auf mit

den Ableitungsregeln. Diese Laplace-Transformation ist eine lineare Operation, also wenn sie eine

Linearkombination alpha mal f eins plus beta mal f zwei von Funktionen Laplace transformieren,

dann ist das Ergebnis die Linearkombination der Laplace-Transformierten, der summanden,

also alpha mal l von f eins plus beta mal l von f zwei. Und konkret haben wir auch schon diverse

Funktionen transformiert, zum Beispiel e hoch lambda t ist eins dividiert durch s minus lambda

für ein lambda aus l. Cosinus omega t haben wir auch schon transformiert, die Laplace-Transformierte

vom Cosinus omega t ist gleich s dividiert durch s Quadrat plus omega Quadrat. Damit verwandt ist

ja die Laplace-Transformierte der Sinusfunktion und da hat man kein s im Zähler, sondern ein omega.

Die Laplace-Transformierte vom Sinus omega t, omega ist dabei eine Zahl, ist gleich omega

dividiert durch s Quadrat plus omega Quadrat. Das waren die trigonometrischen Funktionen,

dann gibt es noch die Potenzen t hoch n. Die Laplace-Transformierte von t hoch n ist gleich

n Fakultät dividiert durch s hoch n plus eins. In der letzten Vorlesung hatten wir einen Satz über

den Zusammenhang zwischen Dämpfung und Verschiebung. Die Laplace-Transformierte einer gedämpften

Funktion e hoch lambda t mal t hoch n, also die Dämpfung ist dann natürlich nur vorhanden,

wenn das lambda negativ ist. Die Regel gilt ganz allgemein. Also diese Multiplikation mit

dem Faktor e hoch lambda t im Zeitbereich führt im Frequenzbereich zu einer Verschiebung um lambda.

Die Laplace-Transformierte von t hoch n ist ja n Fakultät dividiert durch s hoch n plus eins und

das s wird jetzt um das lambda verschoben. Also man bekommt n Fakultät dividiert durch s minus

lambda hoch n plus eins. Das war dieser Satz Dämpfung und Verschiebung. Wir können jetzt

leicht auch die hyperbale Funktionen transformieren. Die Laplace-Transformierte vom Cosmos

hyperbolicus von t ist gleich s dividiert durch s Quadrat minus eins. Also bei den trigonometrischen

Funktionen hatten wir ja immer eine Summe im Nenner und daraus wird jetzt hier diese Differenz

s Quadrat minus eins und entsprechend erhalten wir für den Sinus hyperbolicus von t die Laplace-Transformierte

eins dividiert durch s Quadrat minus eins. Wenn man im Frequenzbereich durch s teilt, dann entspricht