Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über die Faltung gesprochen. Wir haben Funktionen

gefaltet. Wenn man zwei Funktionen faltet, dann kommt auch wieder eine Funktion heraus,

also die Faltung. Und für die Faltung gibt es den Faltungssatz. Der Faltungssatz ist eine Aussage

über die Laplace-Transformation dieser Faltung. Die Laplace-Transformierte der gefalteten Funktion

ist ja nicht mehr im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich. Und im Frequenzbereich ist

dann diese Laplace-Transformation einfach das Produkt der Laplace-Transformierten der beiden

Funktionen, die man faltet. Also wenn man im Zeitbereich faltet, muss man im Frequenzbereich

nur multiplizieren. Also wir haben hier die Funktion y von t im Zeitbereich. Die hat die

Laplace-Transformierte f von s. Und wenn die so ein Produkt ist, sagen wir g von s mal h von s,

dann kann man leicht die Originalfunktion auch dazu ausdrücken. Das F von s ist wie üblich die

Laplace-Transformierte von dem kleinen y von t. Die Originalfunktion, also das Bild von der

Rücktransformation l hoch minus eins, ist dann die Faltung g von t gefaltet mit h von t. Das

Falten im Zeitbereich entspricht dem Multiplizieren im Frequenzbereich. Und diese Faltung ist als

integral definiert. Man integriert dann von 0 bis t, die oberen Grenzen sind variable. Und der

Integrant ist g von t minus u mal h von u du. Also hier im Integranten sieht man schon so ein

Produkt, aber die Argumente, also die Stellen, wo man die Funktion auswertet, sind eben gerade

miteinander gefaltet. Also auf diese Stelle u faltet man dann t minus u und die verknüpft man

auf diese Art. Das ist nach Definition die Faltung von g und h. Und dieses Groß g von s ist dabei

natürlich wie üblich die Laplace-Transformierte von dem kleinen g von t. Also Groß g von s ist l

von kleinen g von t und Groß h von s ist die Laplace-Transformierte von klein h von t.

Man kann jetzt diesen Faltungssatz natürlich auch anders anwenden. Man kann den auch anwenden,

um Faltungen auszurechnen. Diese Definition ist ja recht schwierig und wenn man viele

Originalfunktionen kennt, dann kann man einfach die Faltung Laplace transformieren und dann im

Frequenzbereich die Laplace-Transformierte der Faltung ausrechnen nach dem Faltungssatz.

Und wenn man die dann leicht zurück transformieren kann, dann weiß man ja auch, was die Faltung ist.

Als Formel kann man das so ausdrücken. Die Originalfunktion zu diesem Produkt g von s mal h von s ist genau

die Faltung g von t Stern h von t. Wir hatten in der letzten Vorlesung auch schon einige Funktionen

als Beispiel gefaltet, aber jetzt falten wir nochmal. Als Beispiel nehmen wir die Exponentialfunktion,

die lässt sich besonders gut falten und wir falten jetzt e hoch t mit e hoch minus t.

Also e hoch t wird gefaltet mit e hoch minus t. Das Falten funktioniert mit der Exponentialfunktion

so gut, weil wir diese Regel für e hoch t minus u haben. Das ist ja gleich e hoch t mal e hoch

minus u und damit kann man dann gut rechnen. So nach Definition erhält man erstmal das Integral von 0 bis t

e hoch t minus u multipliziert mit e hoch minus u du. Wenn man die beiden Funktionen in die Definition

der Faltung einsetzt, erhält man diesen Ausdruck und hier können wir jetzt nach den Rechenregeln für

die Exponentialfunktion einen Faktor e hoch t aus dem Integral herausziehen. E hoch t ist ja

bezüglich u konstant, also können wir das als Faktor herausziehen. Das ist e hoch t mal das

Integral von 0 bis t von e hoch minus u mal e hoch minus u und das gibt e hoch minus 2 u. Also e hoch minus 2 u wird integriert.

Und da kann man das Integral ja auch gut ausrechnen. Das e hoch t steht als Faktor vor dem Integral und

die Stammfunktion ist dann minus ein halb mal e hoch minus 2 u in den Grenzen u gleich 0 bis t.

Und da muss man jetzt einsetzen. Erstmal muss man das t einsetzen, dann kriegt man minus ein halb mal e hoch t

mal e hoch minus 2 t und dann muss man noch für das u die 0 einsetzen. Das liefert plus ein halb mal e hoch t

und dieses e hoch minus 2 u wird ja dann zu e hoch 0, das ist 1. Also das kommt heraus, das kann man

noch weiter vereinfachen. Das ist nämlich ein halb mal e hoch t minus e hoch minus t. Und die Funktion

kennen Sie ja schon gut. Das ist der Sinus hyperbolicus von t. Der kommt also auch raus, wenn man e hoch t mit

e hoch minus t faltet. Und diese Rechnung ist natürlich konsistent mit dem Faltungssatz. Man kann jetzt folgendes

auch rechnen. Wenn man die Laplace transformierte von e hoch t mit der Laplace transformierten von e hoch

minus t multipliziert, bekommt man die Laplace transformierte der Faltung. Und die Exponentialfunktion hat ja als

Laplace transformierte 1 durch s minus 1 und bei e hoch minus t bekommt man 1 geteilt durch s plus 1.

Und wenn man jetzt die Nenner miteinander multipliziert, bekommt man s quadrat minus 1.