Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen zusammen. Das letzte Mal hatten wir gesehen, was wir mit der E-Reihe machen können,

wenn wir sie auf ein Matrix-Argument anwenden und wie weitführend das ist. Insofern wäre

eine vollständige Lösungstheorie für lineare Differenzagleichungssystem mit konstanten

Koeffizienten wir damit aufbauen können. Jetzt schauen wir uns die zweite wichtige Reihe

an, die es so in der Analysis gibt. Welche wäre das? Außer der E-Reihe, was ist noch

wichtig? Es gibt vielleicht noch mehr als zwei wichtige Reihen, aber so viel mehr als zwei

gibt es nicht. Versuchen wir es mal mit der geometrischen Reihe. Okay, wir wissen, die

Reihe, das ist eine der einfachsten Reihen, die wir kennen, wo wir auch die Summenformel

sofort herleiten können. Wir wissen, die Reihe Q hoch N für Q aus R oder Q aus C konvergiert

genau dann, wenn Q Betrag kleiner als 1 ist. Das heißt, der Konvergenzradius dieser Reihe

ist 1. Das heißt, also wir wissen schon, wenn wir eine Matrix A wählen mit Konvergenz,

mit Spektralradius kleiner als 1, dann wissen wir, das, was hier auf der rechten Seite steht,

konvergiert. Die Reihe der A hoch K für K von 0 bis unendlich konvergiert. Jetzt ist

nur die Frage, was kommt raus? Können wir diese Matrix in irgendeiner geschlossenen

Form darstellen? Von dem, was wir eben über die geometrische Reihe wissen, würden wir

erwarten, es kommt raus 1 minus A und davon die Inverse als Analogon zu 1 durch 1 minus

Q. Das ist auch richtig, das werden wir gleich zeigen. Das ist dann hier in dem Kontext,

das heißt, das Ganze in die Neumannsche Reihe. Und man kann das auch so sehen, was machen

wir? Wir haben die Identität, das ist eine invertierbare Matrix, vielleicht die invertierbarste

aller Matrizen. Jetzt stören wir diese Identität ein bisschen um eine Matrix A und fragen uns,

wann ist denn diese gestörte Matrix A auch noch invertierbar? Der positive Teil der Antwort

ist, es geht jedenfalls. Wir können die Matrix ein bisschen stören oder anders ausgedrückt,

was wir damit unter anderem zeigen, ist, die Menge der invertierbaren Matrizen ist offen,

darauf wird das hinauslaufen. Das heißt, wir haben in welcher Norm auch immer, die sind

alle äquivalent, wie wir wissen, eine kleine Kugel um diese invertierbare Matrix, die Einheitsmatrix

und wissen, wenn wir ein kleines bisschen stören, wobei das kleine bisschen jetzt noch

nicht in einer Norm ausgedrückt wird, sondern sozusagen in der möglichen besten aller Normen,

die aber nicht unbedingt eine Norm sein muss, nämlich im Spektralradius. Wir wissen, wenn

der Spektralradius kleiner als eins ist, dann funktioniert das, dann ist diese gestörte

Matrix immer noch invertierbar. Okay, jetzt gehen wir dann zwei Schritten weiter. Der

eine Schritt ist, wir schwächen das Ergebnis etwas ab und wollen diese Störung wirklich

in Form einer Norm quantifizieren. Und die Aussage ist die, wenn wir für irgendeine

submultiplikative Norm wissen, die Norm der Störung ist kleiner als eins, dann gilt diese

Aussage weiterhin, das heißt, eins minus a ist invertierbar und ist natürlich weiterhin

diese Reihe und weiterhin dieser Term hier und wir können die Norm dann von diesem Ausdruck

abschätzen durch eins durch eins minus die Norm von a. Man sieht ja vielleicht schon

sozusagen die reelle geometrische Reihe wieder auftauchen. So, der nächste Schritt ist einfach

dieses Ergebnis. Na gut, man kann natürlich sagen, okay, die Einheitsmatrix ist schön

und gut, jetzt weiß ich, dass ich sie stören darf, aber wo taucht denn schon die Einheitsmatrix

auf? Jetzt verschieben wir dieses Ergebnis einfach zu einer beliebigen Matrix hin. Machen

Sie vielleicht die Tür oben zu? Das heißt also, jetzt ist die Bezeichnung getauscht,

jetzt heißt die Bezugsmatrix A, die sei invertierbar, die störende Matrix heißt B, die Kleinheitsbedingung

für das B ist, dass der Spektralradius von a auf minus eins mal b kleiner als eins ist

und die Aussage ist dann, dann ist diese Summe a plus b invertierbar und es gilt diese auf

den ersten Blick etwas komplizierte Darstellung. Auf die kommen wir gleich noch zurück. Und

jetzt wiederum Abschwächung davon, wenn man jetzt nicht an der Darstellung interessiert

ist, sondern nur an einer Normabschätzung dieser Größe, was wir dann bei der Frage

der Kondition von Gleichungssystemen, das heißt, wie reagieren Gleichungssysteme unter

Störungen von rechten Seiten und auch von Matrizen, kann man das abschwächen und wie