Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ähnlich wie in der letzten Vorlesung werden wir auch heute wieder lineare Anfangswertprobleme,

das heißt Anfangswertprobleme mit linearen Differentialgleichungen mit

der Laplace-Transformation lösen. Wir gehen dann auch über zu Systemen,

linearen Systemen von Differentialgleichungen, y-Strich gleich a mal y,

wobei a eine quadratische Matrix ist, kann man ja lösen, wenn man die Matrix-Exponentialfunktion

e hoch a t kennt. Dann muss man e hoch a t nur mit dem Anfangswert multiplizieren,

mit diesem Vektor, der den Anfangszustand beschreibt und dann kann man sofort die Lösung berechnen.

Und diese Matrix-Exponentialfunktion kann man auch mit der Laplace-Transformation bestimmen.

Da hatten wir ja schon verschiedene Zugänge gesehen. Man kann sie als Reihe berechnen,

nach Definition dieser Matrix-Exponentialfunktion ist das ja die Exponentialreihe mit Matrizen.

Man kann sie berechnen, indem man auf Eigenvektoren geht. Wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert,

dann hat man ja Lösungen der Form e hoch lambda t multipliziert mit diesem Eigenvektor.

Und hier sehen wir noch eine andere Möglichkeit, diese Matrix-Exponentialfunktion zu berechnen,

nämlich mit der Laplace-Transformation. Das ist besonders wichtig, wenn keine Basis aus Eigenvektoren existiert.

Also die Laplace-Transformation, die ist da emotionslos gegen. Also man kann da immer einfach durchrechnen

und muss am Ende die entsprechenden Originalfunktionen finden, dann liefert das die Matrix-Exponentialfunktion.

Aber wir beginnen zum Warmwerden wieder mit einem einfachen Beispiel.

Eine skalare Differentialgleichung, zweite Ordnung, y zwei Strich minus sechs mal y Strich plus neun mal y

ist gleich t Quadrat mal e hoch drei t. Eine inhomogene lineare Differentialgleichung, zweite Ordnung.

Wir haben Anfangswerte y an der Stelle null ist gleich zwei und die Ableitung y Strich von null ist gleich sechs.

Das ist unser Anfangswertproblem. Und wir wenden, wie wir es schon in der letzten Vorlesung gesehen haben,

die Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung an. Dann brauchen wir die Formel für die Laplace-Transformation der Ableitung.

Und da tauchen ja dann auch diese Anfangswerte drin auf. Also die Laplace-Transformation der zweiten Ableitung

minus sechs mal die Laplace-Transformation von y Strich plus neun mal die Laplace-Transformation von y ist die Laplace-Transformation

der rechten Seite, also von t Quadrat mal e hoch drei t. Hier haben wir nur die Linearität der Laplace-Transformation ausgenutzt.

Was ist die Laplace-Transformation der zweiten Ableitung? Das ist ja s Quadrat mal groß f von s.

Wie üblich ist groß f von s die Laplace-Transformation von y. Und hier muss man noch zwei Terme abziehen.

Minus s mal y von null minus y Strich von null. Und da können wir wie gesagt die Anfangswerte einsetzen.

Das ist also s Quadrat mal f von s minus zwei mal s minus sechs.

Für die Laplace-Transformation der ersten Ableitung gilt ja die entsprechende Formel.

Nur wird dann f von s nicht mit s Quadrat, sondern nur mit s.

Die Laplace-Transformation von y Strich ist gleich s mal groß f von s minus y an der Stelle null. Das ist s mal groß f von s minus dem Anfangswert zwei.

Diese Formel, die hier steht für die Laplace-Transformation von y Strich, die auf der oberen Tafel steht, ist ganz allgemein gültig.

Die haben wir in einem Satz schon formuliert. Es gibt auch eine Formel für die dritte und vierte allgemein für die nte Ableitung.

Wenn die Ableitungen höher werden, dann steigen auch die Potenzen vor groß f von s.

Bei der dritten Ableitung steht dann s hoch drei davor. Man muss dann nicht nur zwei Terme abziehen, sondern drei Terme.

So geht es weiter.

Jetzt setzen wir ein, was wir hier ausgerechnet haben.

Groß f von s können wir ausklammern. Das haben wir einmal mal s Quadrat von der zweiten Ableitung, dann minus 6 mal s von der ersten Ableitung und dann plus 9 von der Funktion selbst.

Mal und was ist das? Gleich.

Jetzt müssen wir die anderen Terme auf die rechte Seite bringen. Also 2s haben wir, minus 6.

Dann kommt aber dazu diese plus 2. Das wird einmal mit minus 6 multipliziert. Dann hat man also eine plus 12 im Spiel.

Also haben wir hier nicht minus 6, sondern plus 6 minus 12. Also am Ende kommt da minus 6 heraus.

Dann kommt die Laplace transformierte der rechten Seite. Das ist 2 durch s minus 3 hoch 3.

Im Zähler steht hier eigentlich 2 Fakultät, aber das ist ja 2. Die rechte Seite ist ja t Quadrat mal e hoch 3t.

Die Laplace transformierte von t Quadrat ist 2 Fakultät durch s hoch 3.

Durch diesen Exponentialfaktor e hoch 3t wird das Ganze verschoben. Deshalb steht da nicht s hoch 3, sondern s minus 3 hoch 3.

Das ist dieser Satz über Dämpfung und Verschiebung.

Haben Sie verstanden, wo die minus 6 herkommt? Da sind die Konstanten zusammen eingesammelt.