Okay, hallo allerseits. Wir waren gerade dabei, uns zu überlegen, wie man die

Quantenmechanik mit der Relativitätstheorie verknüpft. Und das erste

Ziel muss sein, eine Wellengleichung zu finden, die die passende

Dispersionsrelation hat, also wo der Zusammenhang zwischen Energie und

Impuls, beziehungsweise Frequenz und Wellenvektor der passende ist.

Das heißt, unser Ziel ist schlicht und einfach, eine Wellengleichung mit dieser

Dispersionsrelation, wo die Energie gleich ist die Wurzel aus der Ruheenergie zum

Quadrat des Teilchens plus c² mal Impuls². Und die Idee ist dann später zu

sagen, e ist gleich h quer omega natürlich und p ist gleich h quer k.

Wir hatten einen Versuch schon hinter uns, das war die Kleingordan-Gleichung, die war

zweiter Ordnung in der Zeit und im Ort, aber die hat uns nicht so gefallen

wegen den Eigenschaften. Und dann sind wir zurückgegangen auf eine Gleichung von

der Form der Schrödinger-Gleichung. Das heißt, wir wollten doch wieder nur eine

Gleichung erster Ordnung in der Zeit. Und naheliegenderweise, damit es

relativistisch ist, sollte dann vermutlich im Hamilton-Operator auch nur

erste Ordnung im Impuls stehen. Damit die ganze Sache überhaupt aufgehen kann und

zu so einer Energie führen kann, hatten wir vermutet ausgehend zum Beispiel vom

Analogon der Maxwell-Gleichung, dass wir hier in Wahrheit ein Gleichungssystem

brauchen. Und dieses Gleichungssystem würde dann bedeuten, psi hat mehrere

Komponenten, wie viele wissen wir noch nicht, und h wäre dann entsprechend eine

Matrix. Genauer gesprochen, h wäre eine Matrix, in der dann selber noch mal, sagen

wir, der Impulsoperator auftritt in der Ortsdarstellung. Okay. Und wenn man so eine

zeitabhängige Schrödinger-Gleichung hat, dann kann man natürlich auch die

entsprechende Zeit unabhängige hinschreiben. Und das Ziel wäre, dass die

Energieeigenwerte, die hier auftreten, praktisch diese Energien sind, die wir

uns vorgegeben haben. Jetzt hatte ich schon gesagt, eine Energie, die gleiche ist eine

Wurzel, sowas kennen wir schon, nämlich vom simplen Zwei-Niveau-System. Und das

hatten wir das letzte Mal noch hingeschrieben. Zur Abkürzung möchte ich

jetzt die Ruhe Energie E0 nennen. Und dann war die Behauptung gewesen, wenn ich mir

einen Hamilton-Operator hinschreibe, wo E0 und minus E0 auf der Diagonale steht,

und C mal P auf der Außerdiagonale, dann kriegen wir gerade solche Energien.

Ich schreibe es jetzt zuerst für eine Dimension hin. Da stünde also C mal

der Impulsoperator für diese eine Raumrichtung, die wir dann haben.

Hier genau dasselbe. Also das wäre in einer Raumdimension.

Nun kann ich das Ganze auch ein bisschen formaler hinschreiben, nämlich mit

diesen Pauli-Matrizen. Wir können praktisch jede Zwei-Kreuz-Zwei-Matrix

darstellen als lineare Kombination der drei Pauli-Matrizen, Sigma x, Sigma y und

Sigma z, und eventuell der Einheitsmatrix. Und hier sehe ich schon den Anteil mit E0,

der steht auf der Diagonale und hat Plus und Minus als Einträge. Der sieht so aus

wie Sigma z. Und der Anteil auf der Nebendiagonale, das ist praktisch so was

wie Sigma x.

Zur Erinnerung nochmal, Sigma z war 1 minus 1 und Sigma x hatte einfach 1 und 1

auf der Nebendiagonale. Und es ist nun ganz lustig zu sehen, dass diese Form der

Energie man sofort folgern kann, wenn man den Hamilton-Operator quadriert.

Das möchte ich vorführen, weil das werden wir später genauso machen.

Also nehmen wir diesen simplen Hamilton-Operator her und quadrieren den.

Das muss ja dann dasselbe sein, als wenn ich die Eigenwerte quadriere.

Und was kommt da raus? E0² Sigma z² plus Cpx zum Quadrat Sigma x zum Quadrat plus,

und dann gibt es Mischterme. Also einmal Sigma z mal Sigma x und dann Sigma x mal

Sigma z. Und das ist wichtig die Reihenfolge beizubehalten, weil das sind