Ja, guten Morgen. Wir hatten letztes Mal gesehen, dass ich die Aussage, eine der Kernaussagen,

die wir hatten, nämlich die Existenz der orthogonalen Projektion, die wir bisher nur

kennen, wenn wir gesichert hatten, wenn wir auf einen endlichdimensionalen Linearen oder

dann darauf aufbauend affinen Raum projiziert haben, in zweierlei Hinsicht erweitern konnten.

Das eine ist, die Menge musste nicht mehr diese lineare Struktur haben, sondern konnte

konvex sein.

Und das zweite war, wir konnten uns sozusagen von der Endlichtdimensionalität lösen, aber

nur in der Situation, wo der Grundraum ein Hilbertraum ist.

Das heißt also, der Raum vollständig ist bezüglich der vom Skalabprodukt, vom inneren

Produkt erzeugten Norm und zusätzlich, aber das ist glaube ich auch klar, muss die Menge

auf die projiziert wird abgeschlossen sein, sonst kann man nicht erwarten, dass man ein

Element kleinsten Abstandes hat.

Okay, darauf aufbauend hatten wir gesehen, dass der riesige Darstellungsatz allgemein

gilt in Hilberträumen.

Das heißt also, auf einem beliebigen K-Hilbertraum, R oder C, können wir ein linearstetiges Funktional,

stetig kommt jetzt hier immer hinzu, im allgemeinen, im endlichdimensionalen kommt es automatisch

hinzu, wie wir wissen, dann müssen wir es nicht erwähnen, ein linearstetiges Funktional

über das innere Produkt darstellen können.

Und darauf aufbauend, dass wir jetzt die unmittelbare Anwendung in der mathematischen Anwendung können

wir unsere Theorie insofern jetzt abschließen, dass wir den Begriff des adjugierten Operators,

den wir bisher nur im endlichdimensionalen definieren konnten, jetzt auch allgemein definieren können.

Das ist die jetzt anstehende Definition und da müssen wir uns natürlich jetzt vergewissern,

dass diese Definition Sinn macht, was für Eigenschaften rauskommt.

Wenn wir mal den Begriff des adjugierten Operators haben, dann ist das nachfolgend, was wir damit

sozusagen begrifflich gemacht haben, selbst adjungiert, orthogonal und so weiter, begrifflich

genau das gleiche, wie wir es aus dem endlichdimensionalen schon kennen, da können wir dann schnell

darüber hinweggehen.

Also was ist ein adjungierter Operator?

Grundsituation zwei, K-Hilberträume V und W, die inneren Produkte werden nicht unterschieden

in der Schreibweise, wir haben einen linearstetigen Operator, der von V nach W geht, der adjungierte

Operator geht dann in die andere Richtung von W nach V, ist auch linear, ist auch stetig,

auch beschränkt und hat genau diese Eigenschaft, dass er sozusagen das ist, wenn wir das Phi

durch das innere Produkt durchwandern lassen.

Das heißt es gilt Phi-V mit W ist V mit Phi-adjungiert W.

Erste Frage ist natürlich, existiert dieses Phi-adjungiert, existiert es eindeutig und

welche Eigenschaften hat es?

Das ist der Inhalt des nächsten Satzes, der eben sagt, dieser jetzt gerade definierte Operator,

das ist eine sinnvolle Definition, der existiert eindeutig, also auch die Bezeichnung ist sinnvoll.

In der erzeugten Norm, es sind natürlich verschiedene Räume, um die es hier geht, einmal LVW, einmal

LWV, aber jeweils in den erzeugten Normen sind die Normen gleich.

Das heißt diese Zuordnung, die wir jetzt insbesondere definiert haben, diese Zuordnung

über das Kreuz von dem einen Raum linearstetiger Funktionen in die andere Richtung, in dem

wir den adjungierten Operator zuorten, ist eine Isometrie, das steht unmittelbar hier,

die Normen bleiben erhalten und sie ist antilinear.

Antilinear heißt, das ist vielleicht etwas ungeschickt vom Begrifflichen her, heißt

im Reellen, insbesondere linear und im Komplexen heißt das eben, die Verträglichkeit mit den

Skalaren ist etwas anders in dem Sinne, dass die Skalare als ihr Komplex konjugiert ist,

dann herausgehen aus dem Operator.

Okay, dieser zweite Schritt mit der Antilinarität, das ist genau der gleiche Beweis, den wir

schon kennen.