und versuchen noch möglichst viel über Eigenwerte zu verstehen, was wir noch in diesem Semester

davon schaffen können. Der allergrößte Teil wird dann im nächsten Semester erfolgen.

Ja, wieso eigentlich Eigenwerte? Was ist das? Wo kommen die her? Das werden wir gleich sehen.

Ich erinnere noch mal daran, was wir das letzte Mal gemacht haben. Da haben wir uns gefragt,

ich habe einen Endomorphismus, also eine lineare Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst

oder konkret eine quadratische Matrix. Ich nehme im Urbildraum und im Bildraum die gleiche Basis jeweils

und frage mich, was passiert, wenn ich die Basis wechseln will.

Wie äußert sich das in der Transformation der Darstellungsmatrix bzw. andersherum gesehen,

welche Transformation erzeugt so einen Wechsel?

Und wir wollen natürlich diesen Wechsel so machen, dass die resultierende Darstellungsmatrix am Schluss

möglichst einfach ist und die einfachsten Matrizen, die wir kennen.

Erstmal sind Diagonalmatrizen. Wir werden nicht mehr in diesem Semester, aber relativ bald dann sehen,

das wird nicht für alle Matrizen funktionieren. Wir müssen nach nächst einfacheren Darstellungen suchen.

Aber noch mal zur Begrifflichkeit. Wir haben gesehen, ein solcher Basiswechsel von einer Darstellungsmatrix C,

sagen wir mal bezüglich der Einheitsbasis auf eine neue Basis dann C Strich, geht damit einher,

dass die Übergangsmatrix A von rechts heranzumultiplizieren ist und von links das A hoch minus A eins.

Und wenn wir eben auf diese, wir nennen zwei Matrizen ähnlich, wenn sie eine solche Beziehung erfüllen,

das sind also C und C Strich gleichberechtigt in dieser Sprechweise, ist aber auch insofern gerechtfertigt,

als wir gesehen haben, dass das eine Äquivalenzrelation ist, also insbesondere eine symmetrische Relation ist.

Und wir nennen dann eine Matrix über diesen Zahlkörper, über den wir uns hier bewegen,

und manchmal haben wir auch eine Freiheit den Zahlkörper zu wählen, wenn wir noch einen Oberkörper haben,

also mathematisch gesprochen natürlich, in dem Sinne, dass wir, sagen wir mal, von, könnte von Q nach R übergehen,

das wird jetzt hier nicht so viel eine Rolle spielen, aber insbesondere von R nach C.

Weil die komplexen Zahlen eine ganz spezielle Eigenschaft haben, nämlich die, dass jedes nicht konstante Polynom mindestens eine Nullstelle besitzt,

das was man auch die Algebranche abgeschlossenheit des Körpers dann nennt.

Also das ist der einzige Algebranche abgeschlossene Körper, den wir kennen und den werden wir dann intensiv nutzen.

Also wenn wir über den Körper, wo wir das betrachten, sogar erreichen können, dass wir ähnlich zu einer Diagonalmatrix sind,

dann nennen wir die Matrix diagonalisierbar. Also es soll jetzt darum gehen, diesen diagonalisierbaren Fall genauer zu untersuchen.

Und man kann aber auch ein bisschen mehr fordern. Wir können auch fordern, die Einheits-,

die Standardbasis aus den Einheitsvektoren ist ja insbesondere eine ganz spezielle Ortonormalbasis,

und wir könnten uns einschränken und sagen, wir möchten nur auf eine Ortonormalbasis wechseln.

Das bedeutet erstmal die gleiche Anforderung. Hier ist es noch erstmal aufgeschrieben.

Hier ist es erst, gehen wir gleich vielleicht in diesen Teil, hier ist es gleich aufgeschrieben für gleiche Basen im Bild- und Urbildraum.

Das heißt wir haben weiterhin diese Situation hier mit der Übergangsmatrix A, da hat sich nichts geändert.

Wir haben jetzt hier noch mehr gefordert, und dieses mehr macht sich jetzt dadurch bemerkbar,

dass die Übergangmatrix jetzt eine orthogonale Matrix sein muss. Oder im Komplexen eine unitäre Matrix.

Das heißt, das A hoch minus eins, der positive Nebeneffekt davon ist, dass wir das A hoch minus eins jetzt explizit gegeben haben, als A adjungiert.

Das sind dann eben die Spalten von A in dieser Situation, wie immer, sind dann die neue Basis, und die neue Basis ist eine Ortonormalbasis,

und da sieht man eben nochmal, die Matrix A ist unitär.

Dementsprechend haben wir neben dem Begriff der Ähnlichkeit zwischen zwei Matrizen, den Begriff der Unitär-Ähnlichkeit,

das können wir nur für komplexwertige Matrizen so formulieren, während die Ähnlichkeit, das gilt, das ist ein Begriff für allgemeine Körper.

Deswegen haben wir auch den Begriff der unitären Diagonalisierbarkeit.

Das heißt, in der Situation kann es durchaus sein, dass ich eine komplexe Matrix habe, die aber nur reellwertige Einträge hat,

und unitär diagonalisierbar heißt dann nur, es gibt eine neue, eventuell komplexe Ortonormalbasis

und eine, die Diagonalmatrix, die dann die neue Darstellungsmatrix ist, hat eventuell komplexe Einträge.

Das wird sich als so eine Art Hauptnormalfall herausstellen, und wenn ich mehr haben will, oder ich kann natürlich mehr eventuell haben,

wenn ich nur reellwertige Matrizen habe und tatsächlich dann sogar auf eine reelle, im Reellen diese unitäre Transformats-Unitär-Ähnlichkeit habe,

dann spreche ich von orthogonal-ähnlich, und wenn es dann noch zu einer reellen Diagonalmatrix geht, dann habe ich orthogonal-diagonalisierbar.

Also das ist sozusagen das Beste, was es für eine reellwertige Matrix gibt, orthogonal-diagonalisierbar,

dann eventuell unitär diagonalisierbar, zwar auch diagonalisierbar, aber damit komplex, in einer komplexen Diagonalmatrix eventuell geht das nicht,