Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo, dann können wir mal anfangen. Wir haben ja in den letzten Vorlesungen viele

Anfangswertprobleme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation

gelöst. In der Praxis, gerade in den Ingenieurwissenschaften, haben sie oft mit

partiellen Differentialgleichungen zu tun und die zu lösen ist noch schwieriger.

Man kann aber bei linearen Systemen auch da oft die Laplace-Transformation ausnutzen,

um aus dieser partiellen Differentialgleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung zu

gewinnen und da kann man dann wieder die Methoden auf anwenden, die wir jetzt schon

kennengelernt haben. Das geht insbesondere gut, wenn das eindimensionale Probleme sind,

also wo sie eine Zeitachse haben und eine Ortsachse, eine X-Achse und eine T-Achse.

Also darum geht es heute, die Lösung partieller Differentialgleichungen

mit der Laplace-Transformation.

Die Laplace-Transformation ist ja darauf zugeschnitten, dass sie eine Zeitachse

haben, wo die Zeit von Null bis unendlich läuft. Also man startet bei der Null und

dann läuft die Zeit weiter. Deshalb ist es auch nicht bei allen

partiellen Differentialgleichungen sinnvoll, diese Laplace-Transformation anzuwenden.

Oft gibt es ja Gleichgewichtsprobleme, also denken Sie an eine Platte oder an

eine eingespannte Seifenhaut, die nimmt dann ja irgendeine Form an. Die Randwerte

sind vorgegeben und dazwischen spannt sich so ein Seifenfilm, sodass die Energie

des Systems minimal wird. Da gibt es also keine Zeitachse, deshalb ist das auch

nicht gut geeignet für die Laplace-Transformation.

Andere Vorgänge sind ja zeitabhängig, zum Beispiel Schwingungsvorgänge.

Da werden wir gleich die Wellengleichungen sehen, als ein typisches

Modell. Wir beginnen mit der Wärmeausbreitung. Sie haben ja eine

Temperatur überall in diesem Raum und diese Temperaturen beeinflussen sich

alle gegenseitig und das wird durch die Wärmeleitungsgleichung beschrieben.

Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt eine Temperaturentwicklung.

In einem Medium, das kann zum Beispiel ein Festkörper sein, das ist so ein

Eisenstab. Wir betrachten ein eindimensionales Medium und um die

Sache erstmal einfach zu halten, betrachten wir einen unendlich langen

Stab, also ohne Rand. Dann gilt Folgendes, die zeitliche Ableitung dieses

Temperaturproblems ist gleich A mal der zweiten Ortsableitung dieses

Temperaturprofils U. Das ist also eine partielle Differentialgleichung für das

U. Das U hängt von der Zeitvariablen T und der Ortsvariablen X ab. Die Ortsvariabe

X ist irgendeine reelle Zahl. Wir betrachten wie gesagt einen unendlich langen

Stab oder ein unendlich langes Medium. Die Anfangstemperaturverteilung muss

vorgegeben sein, sonst weiß man nicht wie es weitergeht.

Das geht also für alle X aus R und die Zeit ist größer 0. Also für T gleich 0

ist der Anfangswert sowieso vorgegeben und dann entwickelt sich das System

gemäß dieser partiellen Differentialgleichung. Hier haben wir einen

Koeffizienten A, der geht hier linear ein und wir setzen voraus, dass der konstant

ist. Das A ist die Wärmeleitfähigkeit oder Temperaturleitfähigkeit, die könnte

natürlich auch von X abhängen, aber dann wäre das Ganze etwas komplizierter. Wir

sagen mal das ist eine Konstante, A ist die Temperaturleitfähigkeit und dann ist

dies die berühmte Wärmeleitungsgleichung, die heißt auch

Diffusionsgleichung, die beschreibt auch Stoffausbreitung, also wenn sie irgendwo

so ein Farbtropfen reinfallen lassen, der sich verteilt. Anderer Name

Diffusionsgleichung. Bei diesen partiellen Differentialgleichungen gibt es

verschiedene Typen, die kann man klassifizieren und diese Wärmeleitungsgleichung

ist der Prototyp einer parabolischen partiellen Differentialgleichung. Also