Im letzten Video haben wir topologische Räume als allgemeine mathematische Struktur eingeführt und

auch gesehen, dass diese unter Umständen durch eine Norm oder gar eine Metrik induziert werden

können. Darüber hinaus haben wir den Begriff der Stetigkeit zurückführen können auf topologische

Räume und wir werden im Folgenden uns mit der Frage beschäftigen, ob wir auch weitere mathematische

Konzepte auf diese allgemeinen Strukturen, also auf topologische Räume, überführen können.

Zentral dabei wird der Ableitungsbegriff sein, das heißt die Frage wird sein, wie können wir in

topologischen Räumen ableiten, wenn wir nicht mal so etwas wie einen Abstandsbegriff haben. Und in

diesem Zusammenhang macht es Sinn, sich mit einem sehr wichtigen und bedeutenden Werkzeug der

Mathematik zu beschäftigen, nämlich den sogenannten Manich-Faltigkeiten. Manich-Faltigkeiten sind

sozusagen ein Spezialfall eines topologischen Raums, den man lokal mit dem euklidischen Raum

identifizieren kann. Und wie wir sehen, werden wir das genau der Trick sein, wie man auch Ableitungen

definiert. Wir brauchen also lokal eine Identifikation mit etwas, das wir kennen und das ist in dem Fall

der rn. Und insbesondere im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spielen

Manich-Faltigkeiten eine zentrale Rolle. Da beschäftigt man sich nämlich genau mit solchen

Strukturen und versucht zu verstehen, wie sich Krümmung von Oberflächen auf mathematische

Operationen wie Ableitung oder Integration auswirken. Zu Anfang möchte ich in diesem

Video eine kleine Motivation für Manich-Faltigkeiten geben. Und das wahrscheinlich verständlichste

Bild, das jeder sofort versteht von einer Manich-Faltigkeit, ist die Oberfläche einer

dreidimensionalen Kugel. Das heißt, wir wollen uns heute mit dem Bild beschäftigen.

Schöner mal mit dem Schreiben einfach die S2 als sozusagen Kugel im dreidimensionalen.

Und warum heißt dieses Gebilde S2? Naja, das liegt daran, weil es sich um eine

zweidimensionale Oberfläche handelt, im dreidimensionalen Raum eingebettet.

Das sind gerade die Punkte x, y, z aus dem R3, für die die Kugelgleichung gilt. Das heißt,

für die gilt x² plus y² plus z² gleich 1. So eine dreidimensionale Kugel, die können

wir uns gut vorstellen, die könnten wir zum Beispiel verwenden, um die Erdoberfläche

zu modellieren, auch wenn diese nicht wirklich eine Kugel ist. Aber das würde reichen, um

sozusagen Mathematik auf der Erdoberfläche betreiben zu wollen. Jetzt merkt man sehr

schnell, dass man ganz andere Konzepte braucht als zum Beispiel in den offenen Timing des

RHN, wie wir sie bisher in der Vorlesung betrachtet haben. Wenn wir zum Beispiel berechnen möchten,

wie weit man reisen muss, um von einem Punkt der Erdoberfläche zu einem anderen zu kommen,

dann brauchen wir erstmal einen vernünftigen Abstandsbegriff. Warum ist das so? Na, wollen

wir uns doch mal eine Weltkugel darunter malen? Die sollte ungefähr aussehen wie eine Kugel.

Ich versuche das Ganze mal ein bisschen dreidimensional zu gestalten. Ich bin mir nicht sicher, ob

ich das hinbekomme. Das soll sozusagen hier die Krümungslinien der Oberfläche sein.

Das Ganze könnte ich natürlich auch in die Horizontale machen. Meine 3D-Künste lassen

zu wünschen übrig. Aber man glaube, ich kann erahnen, dass das eine dreidimensionale Kugeloberfläche

sein soll. Wir stellen uns vor, wir sind an irgendeinem beliebigen Punkt auf dieser Kugeloberfläche.

Dann nenne ich x und ich frage mich, wie weit muss ich reisen, wenn ich von x nach y möchte?

Also zum Beispiel von Sydney nach Köln. Na, und wie würde man das machen? Man würde jetzt mit den

Konzepten, die wir kennen, den Abstand berechnen. Das stellt sich heraus, dass das in dem Fall

gar nicht so geschickt ist, denn der Abstandsbegriff, den wir bisher kennen, ist der der euklidischen

Norm. Und die euklidische Norm ist die direkte Verbindung von x zu y und die würde im Prinzip

genau durch die Kugeloberfläche stoßen. Sie müssten also sozusagen sich einmal durch die

Welt durchbohren, um die kürzeste Entfernung zurückzulegen. Das heißt, man merkt sehr schnell,

auf so einer Mannigfaltigkeit funktioniert der übliche Abstandsbegriff nicht mehr. Was man dann

tut in der Differentialgeometrie ist, man überlegt sich neue Metriken, um solche Abstände zu messen.

Da kommen dann Begriffe wie die Riemann-Gemetrik oder Geodeten, das sind sozusagen Kurven, die den

kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Oberfläche realisieren. Und das ist im Prinzip ein

eigenes mathematisches Gebiet. Und wir wollen hier in der Vorlesung uns die nötigsten Werkzeuge

daraus zurechtlegen, damit wir am Ende Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten