Wir wollen, bevor wir einsteigen, mit der Eigenwerttheorie ein paar mathematische

Grundlagen wiederholen. Das heißt, jetzt kommen ein paar mathematische Grundlagen.

Und zuallererst schauen wir uns allgemeine lineare Abbildungen an, die von einem Vektorraum in einen

anderen zeigen. Das heißt, wir haben jetzt im Folgenden eine lineare Abbildung f, die von v nach

ein anderem Vektorraum w abbildet. Und das ist eine lineare Abbildung.

Und wir wissen, dass v und w im weiteren K-Vektorräume sind. K ist ein beliebiger Körper.

Und jetzt für den Anfang wollen wir mal annehmen, dass die unterschiedliche Dimension haben,

sonst wäre es ein bisschen langweilig. Das heißt, wir können sowas sagen wie v ist Isomorph zum

R hoch n. Das heißt insbesondere, dass die Dimension von v auch klein n ist. Und w nehmen

wir an Isomorph zum R hoch m. Genau. Und damit wollen wir jetzt erst mal starten. Wir gehen

immer von endlich dimensionalen Vektorräumen aus. Es sei dazu gesagt, dass die Eigenwerttheorie

nicht beschränkt ist auf endlich dimensionale Vektorräume, sondern die lässt sich auch sehr gut

fortsetzen auf unendlich dimensionale Vektorräume. Insbesondere in der Funktionalanalysis werden Sie

das später sehen, dass dort Eigenwerttheorie betrieben werden kann in diesen unendlich

dimensionalen Vektorräumen. Wir wollen es aber hier einfach auf den simplen Fall von endlicher

Dimension beschränken. Es gibt auch noch weitere Verallgemeinerungen von Eigenwerttheorie, die sich

mit nicht-linialen Operatoren beschäftigen. Das ist Gegenstand der Forschung. Das sind sehr aktuelle

Themen. Die werden wir natürlich auch nicht behandeln können im Rahmen dieser Vorlesung.

Und außerdem reicht es, wenn wir das Grundverständnis erst mal für diesen einfachen Fall aufbauen,

damit die Intuition erst mal geschaffen wird für komplexere Generalisierungen, die Sie vielleicht

später noch mal ereilen werden. Genau, wir haben jetzt mal kurz festgelegt, mit was wir uns

beschäftigen wollen. Jetzt ist ganz wichtig, bevor wir weitermachen, ist, dass wir eine

eine Auffrischung machen der Beziehung einer linearen Abbildung und einer darstellenden Matrix,

die zwischen diesen zwei K-Vektorräumen abbildet. Denn wie wir noch wissen, und hoffentlich wissen,

kann ich eine lineare Darstellung durch eine Matrix ausdrücken, solange ich für die Räume,

die dort eine Rolle spielen, auch Basen wähle. Das heißt, im Folgenden wollen wir mal annehmen,

dass B bestehend aus folgenden Vektoren B1 bis Bn eine Basis ist von V. Das war dieser

endimensionale Vektorraum. Und außerdem hätten wir gerne eine weitere Basis, die nennen wir jetzt

mal C, bestehend aus Vektoren C1 bis Cm, Basis von D. Dann ist klar, dass ich im Prinzip mir

anschauen kann, wie ein Vektor, der dargestellt wird aus der Basis in V, unter der linearen

Abbildung F abgebildet werden kann in den neuen Vektorraum W und wie er dargestellt werden kann

durch die gewählte Basis. Das wollen wir uns jetzt einmal anschauen, damit noch einmal die

Beziehung klar ist zwischen einer linearen Abbildung und einer Matrix. Das heißt, wenn ich

mir anschaue, wie ein Vektor abgebildet wird unter F, das heißt, wir möchten gerne so was hier bilden,

wir möchten einen Vektor abbilden, der bezüglich der Basis in V dargestellt ist, das ist dann die

Summe von i gleich 1 bis n über Vi, Bi, das heißt, die Bi sind hier die Basisvektoren,

die Vi sind die Koordinaten dieser Basis, das Ganze ist ein Vektor in V. Das können wir vielleicht noch

darunter machen. Und wir möchten das Ganze abbilden auf einen Vektor, der nun in W liegt.

Dann kann ich das mit einer darstellenden Matrix machen und das Ganze wird einen neuen Vektor

ergeben, der folgendermaßen ist die Summe j gleich 1 bis m über die Wj, Cj, das heißt,

die Wj sind hier auch wieder die Koordinaten der Basis, die durch die Vektoren C und j gegeben sind.

Das Ganze ist natürlich ein Vektor in W, wie wir es gerade schon geschrieben haben. Und jetzt ist klar,

ich kann das Ganze bezüglich dieser Basen angeben und eine Abbildung von meinem Vektor Vi auf einen

Vektor Wj darstellen mit der darstellenden Matrix, die ich folgendermaßen bezeichnen möchte.

Darstellende Matrix, die von folgender Form ist, nämlich ich nenne sie M, B, C,

bzgl. meiner linearen Abbildung F und die lebt im Raum der Matrizen von Größe n Kreuz m. Dann kann

ich nämlich mit dieser darstellenden Matrix Folgendes machen. Ich kann jetzt einen Vektor,

eine Koordinate Wj einfach ausdrücken als die Summe von i gleich 1 bis n über m, b,

c, die darstellende Matrix angewendet auf die lineare Abbildung oder bezüglich der linearen

Abbildung. Und dort hätte ich den Index j, halte ich fest, da ich die jte Koordinate haben will,