Im letzten Video haben wir eine Motivation zur Arbeit auf mathematischen Strukturen genannt

Mannigfaltigkeiten gegeben und haben schon verstanden, dass wenn wir zum Beispiel das

Konzept der Differenziation auf topologische Räume übertragen wollen, wir die Idee benötigen,

irgendwie eine Identifikation mit dem rhn vorzunehmen, denn dort haben wir die

mathematischen Werkzeuge, um ableiten zu können. In diesem Video wollen wir jetzt mathematisch etwas

konkreter werden und auch versuchen zu verstehen, welche Voraussetzungen solch eine Abbildung in den

R-O-N erfüllen muss, damit wir sinnvoll Ableitungen auf topologischen Räumen und später dann auf

Mannigfaltigkeiten definieren können. Das erste, was wir jetzt in diesem Video sehen werden, wird

eine Art Verständnis sein, was zusätzlich an Forderungen an unsere Abbildung Phi, die wir im

letzten Video schon als bijektiv klassifiziert haben, gestellt werden müssen, damit wir sinnvoll

ableiten können. Und es ist klar, auch ähnlich wie im RHN können wir Ableitungen und Grenzwerte nur

betrachten, wenn wir uns auf offenen Mengen bewegen. Das war auch schon im letzten Semester so. Und

dementsprechend möchten wir gerne, dass offene Mengen auf genau offene Mengen im RHN abgebildet

werden. Und andersrum ebenfalls, dass wenn eine Menge, die im RHN offen ist, dann soll sozusagen

das Urbild im topologischen Raum auch wieder offen sein. Das Ganze wollen wir jetzt mal festhalten.

Fangen wir damit an. Also um den Ableitungsbegriff auf topologischen Räumen. Und wir führen jetzt

die Notation ein, dass wir topologische Räume, wenn die Topologie tau egal ist, dann werden wir

nur von der Menge M sprechen, der zugrunde liegenden. Das heißt, ich werde jetzt im Folgenden

immer die Notation verwenden, M sei jetzt ein topologischer Raum und das ist nichts anderes

definiert als die zugrunde liegende Menge M und tau. Und immer dann, wenn das tau, also die

zugrunde liegende Topologie eigentlich egal ist für das Argument, dann lassen wir das tau weg und

sprechen einfach nur von der Menge als topologischen Raum. Um den Ableitungsbegriff auf

topologischen Räumen n formal definieren zu können, brauchen wir sowas wie offene Mengen,

denn ansonsten würde das Konzept von Folgen und von Grenzwertbetrachtungen keinen Sinn machen.

Das heißt, wir brauchen zusätzlich zu Biativität noch eine zusätzliche Bedingung.

Zusätzlich zur Biativität, die es uns erlaubt hat, lokal mit dem R hoch N zu identifizieren.

Und zwar hatten wir die Abbildung Phi genannt und Phi hat uns sozusagen von einer offenen Menge U,

die Teilmenge ist des topologischen Raumes, in einen Bildbereich Phi von U abgebildet.

Und wenn wir uns auf diesen Bildbereich einschränken, dann können wir eine Biaktion

zwischen Phi von U und U herstellen. Das heißt, es gibt auch eine Umkehr-Abbildung.

Daher die Biativität. Und zusätzlich zu dieser Biativität brauchen wir noch die Bedingung,

dass offene Mengen immer genau auf offene Mengen abgebildet werden. Die Bedingung,

dass für jede Teilmenge, für jede offene Teilmenge, sollten wir vielleicht sagen.

Obwohl wir können in dem Fall erstmal nur von Teilmenge sprechen. Das wird sich jetzt

durch die Forderungen ergeben. Also für jede Teilmenge U aus dem topologischen Raum M wollen

wir jetzt fordern. Und zwar die Abbildung der Menge U in R hoch N ist genau dann offen.

Das heißt, es gilt in beide Richtungen, wenn die Menge U selber schon offen war.

Und das heißt insbesondere, dass offene Mengen immer genau auf offene Mengen im Zielraum

abgebildet werden. Und andersherum, jede offene Menge im R hoch N soll ein Urbild haben im

topologischen Raum. Genau. Das heißt, dann können wir offene Mengen wirklich im topologischen Raum

mit offenen Mengen im R hoch N identifizieren. Und wir wollen uns das Ganze jetzt nochmal

für die beiden Richtungen genauer anschauen. Also schauen wir uns mal die erste Richtung an.

Was sagt die Forderung? Wie von U ist offen daraus folgt, dass U offen ist. Naja, diese

Implikation ist äquivalent zu der Forderung, dass das Urbild einer offenen Menge selber

wieder offen ist. Ja, und im Prinzip haben wir so eine Definition schon mal gesehen,

nämlich die Definition in topologischen Räumen für stetige Funktion. Und das heißt, dass hier

wir fordern, dass unsere Funktion phi selber stetig ist. Also diese Implikation ist äquivalent

zur Forderung, dass urbildoffene Mengen selbst wieder offen sind.

Ja, also wenn phi von U offen ist, dann muss U selber schon offen gewesen sein. Das ist genau

diese Forderung. Wieder offen sind. Und das ist genau die Definition von Stetigkeit der