Im letzten Video haben wir Karten und Atlanten auf topologischen Räumen eingeführt und auch

bereits den Begriff der k-maligen Differenzierbarkeit eines Atlas etabliert, was so viel hieß,

wie dass alle Kartenwechsel, die in diesem Atlas passieren können, mindestens k-mal stetig

differenzierbar sind. In diesem Video werden wir jetzt noch einige zusätzliche Konzepte einführen,

bevor wir in der Lage sind, endlich den Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit als ein

Spezialfall eines topologischen Raumes einzuführen. Und wir fangen im Prinzip mit einer Definition an,

denn es kann ja sein, dass für einen topologischen Raum, den wir mit N bezeichnen,

mehrere Atlanten existieren, die diesen Raum überdecken. Und deswegen ist es sinnvoll,

zu Äquivalenzklassen von Atlanten überzugehen, damit man diese Uneindeutigkeit irgendwie

mathematisch in den Griff bekommt. Also wir fangen an mit einer Definition zur CK-differenzierbaren

Struktur. Geschrieben CK, wie die K mal steht, die differenzierbaren Funktionen. CK-differenzierbare

Struktur. Wir wählen uns jetzt erstmal einen Index, der gibt uns die Differenzierbarkeitsstufe an,

also für einen Index nennen wir ihn K. Der kann aus den natürlichen Zahlen kommen. Und wir nehmen

auch unendlich hinzu, bei unendlich oft differenzierbaren Funktionen sehr hilfreich. Genau,

für solch ein Index nennen wir zwei differenzierbare Atlanten. Wir nennen A1, A2.

A1, A2 eines topologischen Raumes M. Ich nehme wieder die Kurzschreibweise.

Und die sollen differenzierbar sein der Klasse CK. Das habe ich jetzt vergessen hinzuzuschreiben,

das fügen wir einfach hier noch mit ein. Das heißt insbesondere, dass alle Kartenwechsel

K mal stetig differenzierbar sein sollen. In diesen Atlanten nennen wir K-Äquivalent.

Das heißt wir werden uns jetzt Äquivalenzklassen anschauen, falls die Vereinigung der Atlanten

selber wieder ein Atlas der Klasse CK ist. Als die Vereinigung, sprich A1, der Atlas,

vereinigt mit A2 wieder ein Atlas der Klasse CK ist auf M ist. Dann sprechen wir von den Atlanten,

die sind in der gleichen Äquivalenzklasse. Das heißt insbesondere, dass die Kartenwechsel,

die durch diese Vereinigung der beiden Atlanten entstehen, weiterhin K mal stetig

differenzierbar bleiben. Wir dürfen also hier keine Differenzierbarkeitsstufe verlieren.

Dann sind sie sozusagen äquivalent und wir notieren in dem Fall auch wie folgt. In diesem

Fall notieren wir dieses kleine Tilde-Symbol schon in Subindex K dran. Das heißt der Atlas

A1 ist K-Äquivalent zu A2 und die Äquivalenzklasse, können wir auch noch angeben,

die nennt man in diesem Fall, in diesem Kontext von topologischen Räumen, eine CK differenzierbare

Struktur. Die Äquivalenzklasse, das heißt alle Atlanten, die zueinander K-Äquivalent sind,

die kann ich alle zusammenfassen und das schreibt man typischerweise in solchen eckigen Klammern.

Und in die Äquivalenzrelation, das wäre hier diese K-Äquivalenz, nennt man eine CK

differenzierbare Struktur. Genau, das haben wir jetzt im Prinzip eingeführt. Wir sind

immer noch bisher im Setting von allgemein topologischen Räumen gewesen, aber in vielen

Anwendungen hätten wir lieber gerne noch zusätzliche Strukturen, zusätzliche Eigenschaften, die uns

helfen, Mathematik zu betreiben, insbesondere später, wenn wir den Ableitungsbegriff einführen

wollen und insbesondere, wenn man glatte Testfunktionen benutzen möchte, das heißt Funktionen, die

unendlich oft differenzierbar sind oder auch die Eigenschaft, die der Zerlegung der 1 benutzen

möchte, brauchen wir zwei grundlegende Eigenschaften, die wir noch zusätzlich an

unseren topologischen Raum fordern wollen. Und die erste Eigenschaft ist die des sogenannten

Hausdorffraums, das wollen wir definieren. Was ist ein Hausdorffraum? Also wir nennen

einen topologischen Raum Hausdorffraum, wenn wir zwei unterschiedliche Punkte aus der zu

grundlegenden Menge nehmen können, die dürfen nicht gleich sein und zu jedem dieser Punkte

muss ich eine offene Umgebung finden, so dass die offenen Umgebung disjunkt sind. Das heißt,

ich brauche immer Nachbarschaften, die sich nicht schneiden und wenn das für jeden Punkt

erfüllt ist, dann spreche ich von M als ein Hausdorffraum oder manchmal liest man auch

in der Literatur den Begriff des separierten Raums, eben weil man diese Umgebung separieren

kann. Das wollen wir festhalten. Ein topologischer Raum M heißt Hausdorffraum, nach dem Mathematiker

Hausdorf. Falls wir je zwei unterschiedliche Punkte

von X und Y nennen, aus der zu grundlegenden Menge M, die wir hier mit dem Raum identifizieren